沪教版数学高一下春季班：第三讲两角和与差的余弦、正弦和正切 同步学案（教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第三讲 课题 两角和与差 单元 第五章 学科 数学 年级 十 学习 目标 1．理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式的推导；2．掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的基本应用；3．掌握两角和与差公式的变形应用． 重点 两角和与差公式的推导； 难点 两角和与差公式的应用． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1．两角和与差的三角函数 ；； 。 2. 辅助角公式 一、两角和与差的正余弦公式 【例1】利用两角和与差的余弦公式证明. 【难度】★ 【答案】证明： 【例2】对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 【例3】已知锐角满足，求 【难度】★★ 【答案】 【解析】∵为锐角且 由，得 又 ∴为锐角 ∴ 【例4】已知且、、均为钝角，求角的值. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 由已知， ①2+②2 【例5】已知，，，求：、. 【难度】★★ 【答案】； 【解析】∵，∴， 又∵，， ∴， 【例6】化简: 【难度】★★★ 【答案】 【解析】原式＝ 【例7】证明： ，其中. 【难度】★ 【答案】证明：（如图） ＝＝. 【例8】利用辅助角公式化简(1) (2) (5) 【难度】★ 【答案】（1），（2）（3） （4）（5） 【例9】已知cos+sin=,则sin的值是 . 【难度】★ 【答案】 【巩固训练】 1．利用特殊角的值求. 【难度】★ 【答案】 【解析】 ＝×－×＝－＝. 2．在中，如果，则为 （ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形 【难度】★ 【答案】A 3．下列四个命题中假命题是（ ） A.存在这样的，使得 B.不存在无穷多个，使得 C.对于任意的， D.不存在这样的，使得 【难度】★★ 【答案】B 4．如果，且，那么（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 5．已知，则的取值范围是_____. 【难度】★★ 【答案】 【解析】令，① ，② 由①2+②2，得. ∴∈［-2,2］. ∴ 6．已知，求的值. 【难度】★★ 【答案】 7．已知：实数、满足，求证：。 【难度】★★ 【答案】证明：∵，∴，同理. 设，；， 代入，得＝1， 即： ∵，，∴ 因此∴. 8．函数的最大值是( ) A. B.17 C.13 D.12 【难度】★★ 【答案】C 【解析】. ∴最大值为13. 9．求的值为_____. 【难度】★ 【答案】 二、两角和与差的正切公式 【例10】利用两角和与差的正弦余弦公式证明tan（α＋β）＝ 【难度】★ 【答案】证明：tan（α＋β）＝＝＝. 【例11】求值 【难度】★★ 【答案】 【例12】如果是方程的两根,则_____. 【难度】★★ 【答案】 【解析】 则. 【例13】设，则的值是（ ） A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】B 【例14】在中，求证： 【难度】★★ 【答案】证明：, 【巩固训练】 1．若、为方程的两根，则= . 【难度】★ 【答案】 2．已知,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,那么tanβ的值等于_____. 【难度】★ 【答案】-7 【解析】∵,α是第二象限角, ∴.∴.∴tanβ=tan［(α+β)-α］. 3．已知，则的值为 _____ 【难度】★★ 【答案】 4．已知，且满足关系式，则=_____. 【难度】★★ 【答案】 5．已知为锐角，证明：的充要条件是 【难度】★★ 【答案】证明：(先证充分性) 由即 得 ∴ 又 ∴ (再证必要性)由整理得 说明：可类似地证明以下命题： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则 二倍角与半角公式在 三角比的恒等变形中的作用： ① 并项与升次： ② 降次：， 2．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。 化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使 ... ...