中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第二讲 课题 复数的方根与实系数一元二次方程 单元 第十三章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值； 2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义 若复数，满足，则称是的平方根． 2．复数的平方根的求法 即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质 复数总有两个平方根，，且（见图1）． 4．复数的立方根的定义 类似的，若复数，满足，则称是的立方根． 5．1的立方根 设复数，则都是1的立方根． 6．的性质 ①， ②， ③． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论 ， 二、实系数一元二次方程 实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法： （1）设化归为实数方程来解决（化归思想）． （2）把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 三、常见几何图形的复数表达式 复数，为定值，且． （1）线段的中垂线方程：； （2）以为圆心，半径为的圆方程：； （3）以、为焦点，长轴长为的椭圆方程： （其中）； （4）以、为焦点，实轴长为的双曲线方程： （其中）． 1、复数的平方根与立方根 【例1】求及的平方根． 【难度】★ 【答案】的平方根为或；的平方根为或 【例2】计算：（1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）513；（2） 【例3】记，求，． 【难度】★★ 【答案】， 【例4】已知等比数列，其中，，（）． （1）求的值； （2）试求使的最小正整数； （3）对（2）中的正整数，求的值． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【巩固训练】 1．复数的平方根是 ． 【难度】★ 【答案】 2．计算：（1） ． （2） ． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）0 3．已知满足等式． （1）计算；；； （2）求证：对任意复数，有恒等式； （3）计算：，． 【难度】★★ 【答案】（1）；0；4；（2）略；（3） 2、复数中的代数式和方程 【例5】在复数范围内分解因式： 【难度】★ 【答案】 【例6】复数满足方程，求的值 【难度】★★ 【答案】由得， 所以原式 【巩固训练】 1．若虚数z满足，则的值为 ． 【难度】★★ 【答案】 2．，，求的值. 【难度】★★ 【答案】时，原式；时，原式； 3、实系数一元二次方程 【例7】已知方程，求方程的解． 【难度】★ 【答案】 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，． 【例8】已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值． 【难度】★★ 【答案】∵，∴，即 ∴ 【例9】已知是实系数方程的两个根，且满足，求实数的值． 【难度】★★ 【答案】， （1）当时，即时，是实根，∴，即； （2）当时，即时，是共轭虚根，设，则， ∴，由，得．从而． 综上，或． 【例10】已知是实系数一元二次方程的两个根，求的值． 【难度】★★ 【答案】， （1）当时，即或时，，∴； （2）当时，即时，． 【例11】已知复数满足，，，求． 【难度】★★ 【答案】， ∴， ... ...
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