沪教版数学高二下春季班：第十一讲空间向量和三视图 同步学案（教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第十一讲 课题 空间向量和三视图 单元 第章 学科 数学 年级 十一 学习目标 了解空间向量的概念；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用；了解三视图的概念和基本机构，会画简单几何体的三视图 重点 空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，利用空间向量求线线所成角、线面所成角、二面角．2．三视图的概念和基本结构，简单几何体的三视图，将三视图还原为空间几何体的方法。 难点 三视图的概念和基本结构，简单几何体的三视图，将三视图还原为空间几何体的方法。 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 空间向量 1．空间直角坐标系： 　在空间选定一点引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 2．空间两点间距离 若，，则． 特别地，A到原点的距离 3．空间向量的坐标 给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作． 4．空间向量的直角坐标运算律： （1）若，， 则 ，，， ，，． 　（2）若，，则． 5．重要结论 （1）模长公式： 若，，则， ． （2）夹角公式：． （3）两点间的距离公式： 若，，则 二、空间向量的应用 会用向量的方法求线与线、线与面、面与面所成的角，点与点、点与面之间的距离。 提示：立体几何的计算主要是求角和距离，侧重求角。 计算方法： ① 线与线所成角：设分别与直线平行的向量为，则，则直线所成角为_____（注意：两直线所成角的范围是）。 ② 线与面所成角：设与直线平行的向量为，平面的法向量为，则，则直线与平面所成角为_____（注意：线与面所成角的范围是）。 ③二面角求法：设平面的法向量为，且_____，则二面角大小为或（注意：二面角的范围是）。 ④ 点到点的距离：若已知向量，则点A、B的距离为。 ⑤ 点到面的距离：已知点A是平面外的点，点B是内的点，且的法向量为，则点A到平面的距离为_____。 三、三视图 1．三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形． 视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用 正投影法绘制出来该图形称为视图． 结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． 2．常用的三视图 （1）常见旋转体的三视图 （2）常见多面体的三视图原则 常用原则就是在绘制三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．具体在安排方法时，正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．具体图形如下： 1、长方体 2、圆锥 3、圆柱 4、四棱锥 5、三棱锥 一、空间向量 考点一. 　空间向量坐标的运算 1　已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝ _____． 【答案】－244　 【解析】 (2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244. 2　已知a＋b＝(2，，2 )，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C　[] 考点二 　垂直与平行条件的应用 1　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k的值为_____． 【答案】－或2　 【解析】 a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1 ... ...