中小学教育资源及组卷应用平台 高考数列和解析几何大题练习 1．已知数列中，，且，其前项和为，且为等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，记数列的前项和为.设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意可得：，结合题意可知： 故：. （Ⅱ）当时，.而， 由此，当时，， 从而等式即为，解得，它不是整数，不符合题意. 当时，. 则等式即为，解得. 由是整数，得是5的因数.而当且仅当时，是整数，由此. 综上所述，当且仅当时，存在正整数，使等式成立. 2．已知首项都是的数列满足. （1）令，求数列的通项公式； （2）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由题意可得，，两边同除以，得， 又，，又，数列是首项为，公差为的等差数列． ，． （Ⅱ）设数列的公比为，，， 整理得：，，又，，， …………① …………② ①———得： ． 3．已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设，.求：. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q. 由已知得,而,所以. 又因为q>0,解得q=2.所以,. 由,可得. 且：， 即,联立方程可得， 所以,的通项公式为,的通项公式为. (Ⅱ)令数列的通项公式： ， 则数列的前n项和， 易知， 故. 4．设等差数列的前项和为，且，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，且 (为常数)，令，求数列的前项和。 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. 当时， 因此 所以 相减得, 化简得 5．已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由椭圆的长半轴长为，得. 因为点在椭圆上，所以. 又因为，，所以， 所以（舍）或. 故椭圆的标准方程为. （2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为. 据得. 据题意，得，得， 同理，得， 所以. 又可求，得，， 所以 . 6．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点．若△PQN的面积为3，求直线的斜率． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点， 所以． 所以椭圆的方程为． （2）若的斜率为0，则，， 所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为，由消得， 设，， 则，， 所以 . 直线的方程为，即，所以． 所以△PQN的面积 ， 解得，即直线的斜率为． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...
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