四边形———三角形的中位线在四边形中的常见应用 单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。 例1.已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH是平行四边形吗？ 分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？ 例2.已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别是AB、CD的中点，试说明AD+BC＞2EF。 分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。 解：连结BD，取BD中点为H，连结EH、FH。 因为点E、F分别是AB、CD的中点 所以EH=AD,FH=BC, 又EH+FH>EF，所以AD+BC>EF, 即AD+BC＞2EF。 例3.已知：如图，四边形ABCD，AC、BD交于点O，且AC＝BD，点E、F分别是AB、CD中点，连结EF交AC、BD于G、H，试说明OG＝OH。 分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。 解：取BC中点为M，连结ME、MF 因为点E、F分别是AB、CD的中点，所以ME=AC,MF=BD， ME∥AC，MF∥BD， 又AC＝BD，所以ME＝MF， 则∠MEF＝∠MFE. 又ME∥AC，MF∥BD，所以∠1＝∠MEF，∠2＝∠MFE， 所以∠1＝∠2，OG＝OH. 下面两道题留给同学们思考。 （1）已知：四边形ABCD，点M、N分别是AD、BC的中点，点P、Q分别是AC、BD的中点，且AC＝BD，试说明MN⊥PQ。 （2）已知：如图，四边形ABCD，AB＝CD，点E、F分别 是AD、BC的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点 H，试说明∠BGF＝∠CHF。 三角形中位线辅助线的应用 三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题. 一、借助中位线定理选择结论 例1如图1，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）. （A）线段EF的长逐渐增大 （B）线段EF的长逐渐减小 （C）线段EF的长不变 （D）线段EF的长与点P的位置有关 分析：由E，F分别为AP，RP的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR，由于已知条件可知EF为ARP的中位线，根据中位线定理可知EF=AR， 由于点P从点C到点D移动的移动过程中，AR始终不变，∴EF的长度也不变. 解：连接AR，∵E，F分别是PA，PR的中点，∴EF=AB， ∵AR不变，∴线段EF的长不变.故选（C）. 点评：本题通过巧妙地连接AR，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决. 二、借助中位线定理求长度 例2某花木场有一块如四边形ABCD的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= cm 分析：根据E、F分别为BA，BC的中点，可知EF为△ABC的中位线，根据中位线定理可得EF=AC，同理可得HG=AC，HE=BD，FG=BD，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE，由此可求到EF的长，也就求到AC的长. 解：∵E，F分别是BA，BC的中点，∴EF=AC，同理可得HG=AC， ∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH=BD，同理可得FG=BD， ∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE， ∵EF+FG+GH+HE=40cm，∴EF=10cm， ∴AC=2EF=20cm. 点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF的长，进而求到AC的长. 三、借助中位线定理说理 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
