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课件网) 新课导入 回顾旧知 数学归纳法的步骤： (1)证明当n=n0时命题成立； (2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 4.1用数学归纳法证明不等式 教学目标 知识与能力 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式). 过程与方法 通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式). 情感态度与价值观 培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度. 教学重难点 重点 难点 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式). 灵活运用数学归纳法. 例1 观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,… 分析 由数列的前几项猜想，从第5项起，an
-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx 分析 贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳. 证 明 (1)当n=2时，由x ≠ 0得(1+x)2>1+2x,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立， 即有(1+x)k>1+kx. 当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx） >1+(k+1)x 所以当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立. 例4 证明： 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an 的乘积a1,a2,…,an， 那么它们的和a1+a2…+an=1. 在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用. 事实上，贝努利不等式的一般形式是： 当a是实数，并且满足a>1或者a<0时，有(1+x)a ≥1+ax(x>-1); 当a是实数，并且满足a>1或者0-1). 分析 这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数. 证 明 (1)当n=1时，有a1=1，命题成立. (2)假设当n=k时，命题成立， 即若k个正数的乘积a1a2…ak=1， 则a1+a2+…+ak≥k.当 n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,…,ak满足条件a1a2…ak+1=1. 若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是1.其和为k+1，命题成立. 若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数.不妨设a1>1,a2<1 有归纳假设可得到：a1+a2+…+ak+ak+1 ≥k (1) 我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2) 由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1. (3) 则(1)+(3)=(2). 由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0, 即a1+a2-a1a2>1. 于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知，原命题成立. 课堂小结 本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n ... ... 
