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课件网) 知识回顾 剩余类定理 若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm) 如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m). 同余定理 导入新课 上一讲我们讲了剩余类，剩余环并知道了它的运算法则. 剩余类乘法：[a][b]=[ɑb] 在整数集模6的剩余环中 [2][4]=[8]=[2] [8][9]=[72]=[0] [2][4][9]=[72]=[0] 当n为素数时，模n的剩余类环中无零因子. · [0] [1] [2] [3] [4] [0] [1] [2] [3] [4] 由以前学的知识在填写模5剩余环. [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [3] [4] [4] [1] [3] [1] [3] [4] [2] [2] [1] 模7剩余环 [07] = . [17] = . [27] = . [37] = . [47] = . [57] = . [67] = . [05] = . [15] = . [25] = . [35] = . [45] = . [03] = . [13] = . [23] = . 模5剩余环 模3剩余环 [6] [5] [4] [3] [2] [0] [1] [4] [3] [2] [0] [1] [2] [0] [1] 对合数上述规律是否依然成立？ 找规律 观察一 第三节 费马小定理和欧拉定理 第二讲 同余与同余方程 教学目标 知识与能力 1.理解费马小定理和欧拉定理的内容与证明过程. 2.能够运用费马小定理和欧拉定理简化数论中的一些计算问题. 情感态度与价值观 过程与方法 1.通过举例对比总结费马小定理和欧拉定理的定义. 2.由以前学过的知识，对费马小定理和欧拉定理进行证明. 认识费马小定理和欧拉定理的历史及地位和作用. 教学重难点 1.欧拉函数的定义及性质. 费马小定理和欧拉定理的证明过程，以及灵活运用这两个定理简化数论中的一些计算. 重点 难点 2.欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件. 科普知识 瑞士著名的数学家欧拉,是数学史上的最多的数学家,他毕生从事数学研究,他的论著几乎涉及18世纪所以的数学分支.比如数学中的欧拉公式,欧拉方程.欧拉常数,欧拉方法.欧拉猜想等.欧拉晚年不幸双目失明，失明后的17年，他还口述署了几本书和约400篇论． 费马生于法国南部 ，贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法 .最有名的是费马大定理，即不可能有满足xn+yn=zn ，n>2的正整数x，y，z，n存在.费马小定理是费马在1640年提出. 科普知识 通过观察一，我们得到模7剩余环、模5剩余环、模3剩余环的规律，又由于3、5、7都是素数，我们猜想： 费马小定理 设m为素数，ɑ为任意整数， 实例 例一、若a=3，m=7，则am-1≡1（modm）成立否. 解： 有以前的知识我们知道 3×1 ≡3（mod7） 3×2 ≡6（mod7） 3×3 ≡2（mod7） 3×4 ≡5（mod7） 3×5 ≡1（mod7） 3×6 ≡4（mod7） 则：36×6！≡6！（mod7）.(1) 又因为：(6!,5)=1 (2) 所以：36≡1（mod7） 即：am-1≡1（modm） 分析 在例一的解析中我们用到了以前学习的知识. (1) 中用到了等式左边相乘等于等式右边相乘. (2) 中用到了同余的性质“若ɑb ≡ɑc（modn），且（ɑ，n）=1，则b ≡c（modn）”. 例一的解析符合费马小定理，下面我们用通式对费马小定理给予证明. 设 An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a 假设 An中有2项ma, na 被p除以后余数是相同 得 ma=na (mod p) 即a(m-n)=0(mod p) 因为 a和p互质, 所以 m-n=0(mod p) 又因为 m,n属于集合{1,2,3..p-1}且m不等于n 所以 m-n不可能是p的倍数. 推出 和假设产生矛盾. 证明 所以 An中任意2项被p除得到的余数都不同 又因为对于任一个整数被p除以后的余数最多有 p-1个,分别是1,2,3,….p-1 而数列An中恰好有p-1个数,所以数列中的数被p除以后的余数一定正好包含所有的1,2,3,4,5…. p-1 所以 a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4…*(p-1) (mod p)对两边进行化简,即可以得到a(p-1)=1 (mod p) 巩固 1、11x≡1（mod3），则x=（ ）. 2、114≡1（modx）， ... ...
