2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第3章3.2　二倍角的三角函数Word版含解析

3.2　二倍角的三角函数 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具) 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点) 通过学习本节内容，提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养. 倍角公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 思考1：T2α对任意角α都成立吗？ [提示]　不是．所含各角要使正切函数有意义． 思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？ [提示]　倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 1．若sin α＝，则cos 2α＝_____. 　[∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α＝， ∴cos 2α＝1－2×＝.] 2．若tan α＝3，则tan 2α＝_____. －　[∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝＝－.] 3．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝_____. －　[∵sin 2α＝2sin αcos α， ∴2sin αcos α＝－sin α， 又sin α≠0，∴cos α＝－.] 直接应用二倍角公式求值 【例1】　已知sin 2α＝，＜α＜，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 思路点拨：先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值． [解]　由＜α＜，得＜2α＜π. 又因为sin 2α＝， 所以cos 2α＝－ ＝－＝－. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2××＝－； cos 4α＝1－2sin22α ＝1－2×2＝； tan 4α＝＝＝－. 对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；是 1．求下列各式的值． (1)sinsin；(2)cos215°－cos275°； (3)2cos2－1；(4). [解]　(1)∵sin＝sin＝cos， ∴sinsin＝sincos ＝·2sincos＝sin＝. (2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°， ∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215° ＝cos 30°＝. (3)2cos2－1＝cos＝－. (4)＝× ＝tan 60°＝. 逆用二倍角公式化简求值 【例2】　化简：. 思路点拨：→→  [解]　原式＝ ＝ ＝＝＝1. 1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值． 2．求下列各式的值： (1)2sincos； (2)1－2sin2750°； (3)； (4)coscos. [解]　(1)原式＝sin＝sin＝. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－. (4)原式＝coscos＝cossin ＝＝sin＝×＝. 活用“倍角”关系巧解题 [探究问题] 1．已知cos的值，如何求sin 2x的值？ 提示：可利用sin 2x＝cos＝2cos2－x－1求解． 2．当题设条件中含有“±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？ 提示：可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换． 【例3】　已知sin＝，0＜x＜，求的值． 思路点拨：先由sin求cos，再求sin即可． [解]　∵＋＝， ∴sin＝cos＝， 又0＜x＜，∴＜x＋＜， ∴sin＝. ∴＝ ＝ ＝2sin＝. 1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x. [解]　∵0