中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第十三讲 课题 等比数列 单元 第章 学科 数学 年级 十 学习 目标 理解等比数列、公比与等比中项的概念；2．掌握等比数列的通项公式及前项和公式，递推公式，熟练运用数列性质解决相关数列问题；3．会用等比数列的知识解决简单的实际问题以及培养学生观察、分析和计算能力． 重点 1．掌握等比数列通项公式以及前项和公式，熟练运用等比数列性质解决相关数列问题；2．会用等比数列的知识解决简单的实际问题． 难点 会用等比数列的知识解决简单的实际问题． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、等比数列的定义 一般地、如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比. 数学语言：或 2、通项公式 ，，亦可写成，，可假设为。 变形：或。 3、等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项。即或（同号） 是与的等比中项，，成等比数列。 注：同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个。 等比数列的前项和公式 前项和公式：或。 注：若，则前项和可假设为： 5、等比数列的性质 （1）若是等比数列，且，则，特别地，当时，。 （2）数列为等比数列，则数列（为非零常数）为等比数列。 （3）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列。 （4）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列。 （5）若为等比数列，则数列成等比数列。 （6）当时，，则为递增数列，，则为递减数列。 当时，，则为递减数列，，则为递增数列。 当时，则为常数列； 当时，该数列为摆动数列。 在等比数列中，当项数为时， 若是公比为的等比数列，则 6、等比数列的判定方法 （1）定义法：（，是常数）或是等比数列。 （2）中项法：()且是等比数列。 （3）通项公式法：是等比数列。 （4）前项和公式法：是等比数列。 一、等比数列的通项公式 【例1】在等比数列中，已知，则公比的值为_____ 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】等比数列中，已知,求=_____ 【难度】★★ 【答案】或 【解析】， 又由，构造以为根的一元二次方程 ，解得，所以或 若，则，进而； 若，则，进而 【例3】等比数列的首项，公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为 ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】方程有且只有一个实数解或一根为零，一根不为零 ①，即，此时；②；③． 【例4】 设，，，，则数列的通项公式 。 【难度】★★ 【答案】 【解析】利用已知条件，进行代换。找到之间的关系，得出为等比数列。故答案为 【例5】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列. 【难度】★★ 【答案】或，－，. 【解析】设所求的等比数列为，，； 则，且； 解得，或，； 故所求的等比数列为或，－，. 【例6】已知某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的．这种物质的半衰期为多长(精确到年)? 【难度】★★ 【答案】4 【解析】设这种物质最初的质量是1，经过年，剩余量是．由条件可得，数列是一个等比 数列，其中 ． 设，则．两边取对数，得． 用计算器算得 ． 答：这种物质的半衰期大约为4年． 【例7】已知数列中，，，求的通项公式 【难度】★★ 【答案】， 【解析】两边同除以，得 有，所以成等差数列，，进而 【例8】设数列{}的首项，且 ，求 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】解：若n为偶数，则即 ∴ ∴ ∴ 若n为奇数，则 即，∴ ∴ ，这种类型一般可转化为{}与{}是等差或等比数列。 【例9】已知数列中，，， ... ...
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