3.1 基本不等式 第一课时(共30张PPT)

(课件网) 第1课时　基本不等式 第三章　§3.4　基本不等式： 学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一　算术平均数与几何平均数 思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？ 算术 几何 知识点二　基本不等式及其常见推论 [思考辨析 判断正误] √ × × 题型探究 例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R). 类型一　常见推论的证明 证明 证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 证明 证明　由例1，得a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 反思与感悟　作差法与不等式性质是证明中常用的方法. 跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明 证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 类型二　用基本不等式证明不等式 证明 证明　∵x，y都是正数， 当且仅当x＝y时，等号成立. 证明 证明　∵x，y都是正数， ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立. 反思与感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 证明 证明　∵a，b，c都是正实数， 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 类型三　用基本不等式比较大小 例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 答案 √ 解析 解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)， 第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2. 依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a＞0，b＞0，x＞0， 答案 解析 √ 解析　∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0， 综合①②，有P1 B.lg 9×lg 11＝1 C.lg 9×lg 11<1 D.不能确定 √ 解析　∵lg 9>0，lg 11>0， 即lg 9×lg 11<1. 5 1 2 3 4 答案 解析 ①②③ 5 1 2 3 4 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 规律与方法 本 课 结 束 ... ...