2019～2020学年度第二学期高三年级5月联考 数学参考答案 参考公式：1.方差公式：； 2.球的体积公式：，是球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1． 2． 3． 6 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． 证明：（1）因为,，为的中点.， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以 …………3分 又因为平面,平面 所以平面. …………6分 （2）因为平面平面 平面平面 ,平面 所以平面. …………8分 因为平面. 所以 …………10分 因为分别为的中点， 所以， 所以 因为， 所以 …………12分 因为平面,平面, 所以平面. …………14分 16． 解：（1）在中，由余弦定理得 …………2分 所以 …………4分 因为，是三角形的内角， 所以 …………6分 所以 …………8分 （2）在中，由正弦定理得 …………10分 …………12分 所以． …………14分 注：其它方法酌情给分！ 17． 解：（1）由题意知， …………2分 ， ， …………4分 则， 即，． …………6分 （2） …………8分 因为，所以 所以， …………10分 故当时，恒成立， 所以在上单调递增， …………12分 故当时，． 答：当θ为时，矩形EFGH的面积最大，最大值为． …………14分 18． 解：（1）由题设可知，所以，故，因此 所以椭圆的方程为 …………3分 （2）设 ①若，则直线的方程为 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，化简得， …………5分 所以 又，…………7分 点到直线的距离， 所以 当且仅当，即时，取得最大值1. …………9分 ②设直线的方程为. 将直线与椭圆的方程联立，即 消去，化简得 …………11分 所以. 所以- =， …………14分 因为的值与点的位置无关，即上式取值与无关， 故有，解得． …………16分 19． 解：（1）当时，，则， 在处的切点为，切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为. …………3分 （2）因为. 所以的定义域为； ， 又因为函数在定义域上为单递增函数， 所以在时恒成立， 即在时恒成立， …………6分 设， 则， 当时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数， …………8分 在时恒成立， 所以. …………9分 （3）因为， 所以，则不可能对恒成立， 即在定义域上不可能始终都为减函数， …………10分 由（2）知函数为增函数， 所以若函数在定义域上不是单调函数 又因为，所以是函数一个零点, 令，得 设，则与有相同的零点， 令，得， 因为，所以， 所以有两个不相等实数解， 因为，所以不妨设， …………12分 当时，，在为增函数 当时，，在为减函数 当时，，在为增函数 则 ………14分 又因为时，， ，， 又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点 又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点 又因为是函数一个零点, 综上函数必有三个不同零点. …………16分 20． 解:（1）因为an＝，所以Sn＝×＝1－()n， ………………2分 所以an＋1－Sn＝()n＋1－1＋()n＝()n－1≤×－1＝－＜0， 所以an＋1＜Sn，即{an}∈M． ………………4分 （2）设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M， 所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) （*） 特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1， 由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋d＋， ………………6分 整理得n2＋(a1－d－)n－a1－1≥0， 因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有≥0，解得d≥－1， 又d≤－1，所以d＝－1， ………………8分 于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0， 即a1≥－1， ………………10分 （3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2S ... ...
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