高考微点19 椭圆、双曲线、抛物线 [微要点] 1．牢记圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2．注意四个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|轨迹不存在． (2)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在． (3)注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (4)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． [微练习] 1．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝8，则|AF2|＋|BF2|＝( ) A．2 B．10 C．12 D．14 解析：选C 由题意，长半轴长a＝5，由椭圆定义知： |AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20. ∵|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝20－8＝12. 2．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( ) A．(0,0) B． C．(1，) D．(2,2) 解析：选D 过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)． 3．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( ) A．7 B． C. D． 解析：选C 由题意得a＝3，b＝，c＝， ∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6. ∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45° ＝|AF1|2－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8. 解得|AF1|＝. ∴△AF1F2的面积S＝××2×＝. 4．已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0,2)，则△PFM的周长的最小值为_____． 解析：设F1为双曲线的左焦点．依题意，c＝2，a＝1，所以|MF|＝2，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，当M，P，F1三点共线时，|PM|＋|PF1|最小，|MF1|＝2，故周长的最小值为2＋2＋2＝2＋4. 答案：2＋4 [微要点] 1．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)； (2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)； (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py.(p>0) 2．掌握双曲线方程的常见设法 (1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线可设为－＝λ(λ≠0)； (2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)； (3)若双曲线过两个已知点，则可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 3．注意三个易误点 (1)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)． (2)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±. (3)抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义． [微练习] 1．点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为( ) A. B．－ C.或－ D．－或 解析：选C 抛物线y＝ax2化为x2＝y，它的准线方程为y＝－，点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，可得＝2，解得a＝或－. 2．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：选D 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意得，＝＝2?a＝2b，∵c＝2，c2＝a2－b2，∴(2)2＝(2b)2－b2?b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 3．过点(2，－2)，且与双曲线 ... ...
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