沪教版数学高一下春季班：第十五讲 数列通项公式 同步学案 （教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第十五讲 课题 数列通项 单元 第章 学科 数学 年级 十 学习 目标 1．掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法；2．由数列递推关系式的特点，选择合适的方法 重点 几种常见的求通项的方法． 难点 几种常见的求通项的方法． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 一、用数列通项公式：等差数列、等比数列; 1.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 2.等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 3.用观察法（不完全归纳法）求数列的通项。 4.题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 二、求数列通项式的常用方法： （一）根据递推关系求通项 1、累加法 形如或，且不为常数，则求可用累加法。 ① 若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③ 若是关于的分式函数，累加后可裂项求和。 2、累乘法 形如或，且不为常数，求用累乘法。 3、待定系数法 形如,其中)型 （1）若时，数列{}为等差数列； （2） 若时，数列{}为等比数列； （3） 若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 方法如下：设，比较系数得。 4、倒数法 形如型，取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解. 5、对数变换法 形如 这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 （二）和有关的求通项的方法 已知数列前项和，则用公式（注意：不能忘记讨论）。 （三）形如型和型 1、形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项. 2、形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 一、累加法、累乘法求通项 1、累加法 【例1】已知数列中，，求数列的通项公式． 【难度】★★ 【答案】 【例2】在数列中，，,则=_____． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】∵ 时, 以上个等式累加得. 故且也满足该式 ∴ ()。 【例3】已知数列满足，，则= ． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由条件知： 利用累加法得 ， 【例4】已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】：由，得，且。 ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴。把代入，得 。 【巩固训练】 1．已知数列满足,求数列的通项公式． 【难度】★★ 【答案】 2．已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式． 【难度】★★ 【答案】 3．已知数列满足：. 求数列的通项． 【难度】★★ 【答案】 4．已知数列满足，，求此数列的通项公式． 【难度】★★ 【答案】 2、累乘法 【例5】在数列中，,，求的表达式． 【难度】★★ 【答案】 【例6】设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝_____． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】　∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝. 答案　 【例7】已知数列满足，则数列{}的通项公式为 ． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由题可得， 利用累乘法，得 , 又 【例8】已知数列中，，，求通项公式． 【难度】 ... ...