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课件网) 导数复习(2) 高二年级 数学 例 已知定义在 上的函数 满足 , 且 的导函数 在 上恒有 , 求解不等式 . 有同学这么做：对不等式 , 两边求导数, 得到 而由题意知, 在 上恒成立. 所以 . 不等式的两边同时求导数, 不等式不一定成立 (1). 不等式 恒成立，但是 不成立; (2). 不等式 恒成立，但是 不成立. 反例： 例 已知定义在 上的函数 满足 , 且 的导函数 在 上恒有 , 求解不等式 . 分析：不等式 不能两边求导数, 但是移项作差后可以得到: 将不等式的左边看成一个新的函数, 注意到它在 处的函数值为0, 若我们能判断其单调性, 则问题可解. 例 已知定义在 上的函数 满足 , 且 的导函数 在 上恒有 , 求解不等式 . 解：构造函数 , 函数 在 上单调递减. 当 时, , 所以原不等式的解集是 . 例 已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相互垂直, 则求点 的坐标. 两个几何对象：切线 一种位置关系：垂直 例 已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相互垂直, 则求点 的坐标. 解：函数 的导函数为 , 所以曲线 在点 处的切线的斜率 设点 , 函数 的导函数为 , 所以曲线 在点 处的切线的斜率 两条切线相互垂直, 则有 , 即 解得 , 又 , 所以 , 故点 的坐标为 . 例 设 为曲线 在点 处的切线, 证明：除切点 外, 曲线 在直线 的下方. 两个几何对象： 曲线及其切线 一种位置关系：下方 最小值点只有一个 一种位置关系：下方 切线方程为: 例 设 为曲线 在点 处的切线, 证明：除切点 外, 曲线 在直线 的下方. 证明：设 , 曲线 在点 处的切线的斜率 令 , 设 , 与 的符号相同. 注意到： 除切点 外, 曲线 在直线 的下方等价于证明 , 当且仅当 时取得, 即证明, 且最小值点只有一个. 在 单调递增. 当 时, ; 当 时, . 极小值 所以当且仅当 时, . 例 已知函数 . (1) 对任意的实数 , 使得 恒成立, 求实数 的取值范围; (2) 存在实数 , 使得 能成立, 求实数 的取值范围. 分析: 函数 在 上存在最大值 和最小值 , 存在实数 , 使得 能成立 对任意的实数 , 使得 恒成立 函数 在区间 上的最值涉及到参数 的讨论，极其繁琐. 当 时, 对任意的实数 , 使得 恒成立 存在实数 , 使得 能成立 例 已知函数 . (1) 对任意的实数 , 使得 恒成立, 求实数 的取值范围; (2) 存在实数 , 使得 能成立, 求实数 的取值范围. 解: 设函数 , 对任意的实数 , 使得 恒成立等价于 存在实数 , 使得 能成立等价于 极小值 (1) ; (2) . 例 已知函数 在 处取得极小值, 求 的取值范围. 的符号由正到负, 则 是极大值; 的符号不改变, 不是极值点. 的符号由负到正, 则 是极小值; 对于可导函数 , 是其定义域内一点, 函数的极值与最值 若函数 在 处取得极值, 则 ; 考察 左右两侧导函数 的符号： 例 已知函数 在 处取得极小值, 求 的取值范围. 分析： 我们考察导函数 在 左右两侧符号的变化情况, 包含参数 , 不可避免地我们需要对 进行分类讨论. 例 已知函数 在 处取得极小值, 求 的取值范围. 解： 函数 的导数 设 , 与 符号相同, (1) 当 时, 极小值 极大值 在 处取得极大值, 不合题意; (2) 当 时, 极大值 在 处取得极大值, 不合题意; (3) 当 时, 极大值 极小值 在 处取得极大值, 不合题意; (5) 当 时, (4) 当 时, , 函数单调增, 没有极小值, 不合题意; 极大值 极小值 在 处取得极小值, 合乎题意; 综合 (1) (2) (3) (4) (5) 知 的取值范围是 发现当 时, 的一个充分条件是 在 上单调增, 例 证明不等式：当 时, . 分析：作差, 证明 等价于证明 记 , 注意到 , 这样我们就需要考虑 在 上的单调性, 即讨论 的符号. 再次注意到 , 这样 的符号又跟刚才一样归结到讨论导函数 的单调性上了. 例 证明不等式：当 时, . 证明：设 , 而 , 设 , 当 ... ...
