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课件网) 第十二章 圆锥曲线 11.5.2 坐标平面上的直线拓展 12.1.1 曲线和方程 什么叫做曲线？ 按照某种运动规律运动的点的轨迹（集合）. 什么是方程？ 含有未知数的等式. 问题1： (1) 曲线C：平面直角坐标系下，第一、三象限角平分线所在的直线. 请写出曲线C的方程. (2) 画出方程 所表示的图形. 曲线 C 方程 在平面直角坐标系下， 点的坐标 解 问题2：下述方程分别表示的是哪个曲线？为什么？ 图1 图2 图3 图4 图(1)曲线上点的坐标不都是方程(1)的解. 以方程(2)的解为坐标的点不都在图(2)曲线上. 一、曲线与方程的概念 在平面直角坐标系中， 如果曲线C与二元方程 之间满足： ①曲线C上点的坐标都是方程 的解； ②以方程 解为坐标的点都在曲线C上. 那么曲线C 叫做方程 的曲线 , 方程 叫做曲线C 的方程. 一、曲线与方程的概念 在平面直角坐标系中， 以二元方程 的解为坐标的点集，记 作集合 F . 曲线 C 看作由点组成的集合，记作集合 C . ①曲线C上点的坐标都是方程 的解； ②以方程 解为坐标的点都在曲线C上. 例1.下列各题中，如图所示的曲线 C 是所给方程的曲线吗？如果不是，是不符合“曲线与方程”定义中的关系①，还是关系②？ (1)曲线 C 为过 的折线，方程是 (2)曲线 C 是顶点在原点、开口向上的抛物线， 方程是 第(1)题图 第(2)题图 例2. 证明：圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 (1) 证明圆上的任意一点的坐标 都是方程的解； (2) 以方程的解 为坐标的点 都在圆上. 分析: 证明： (1) 设 为圆上的任意一点，由条件 则有 ， 由两点间的距离公式得 化简得 ， 即 是方程 的解. (2) 设 是方程 的任意一个解， 则 ， 以 作为坐标的点 到原点的距离 所以点 是圆上的点. 由(1)(2)得证结论. 例3. 已知点 在方程 的曲线 上，求 的值. 并判断点 是否也在该曲线 上. 若一条曲线 C 的方程是 ，则 点 在曲线上 解：由 在曲线上， 则 解得 . 由条件得该曲线方程为 ， 所以点 不在该曲线上. 课堂练习： 1. 已知两点 和 ， 求证：线段 的垂直平分线 的方程是 课堂练习答案 1. 课堂小结： 1、通过学习，你觉得点、坐标、曲线、曲线的方程之间存在着怎样的联系？谈谈你的认识. 通过直角坐标系，点与坐标一一对应； 曲线是按照某种规律运动的点的轨迹.这个规律反映在“形”上就是点的轨迹———曲线，反映在“数”上就是点的坐标所满足的等量关系———方程. “曲线C”上的点与“方程F(x，y)=0”的解应该满足一一对应的关系，“曲线C”才是“方程F(x，y)=0”的曲线，“方程F(x，y)=0”才是“曲线C”的方程.这种一一对应关系就是： ①曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解； ②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 解析几何是在平面坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门学科 . 解析几何的创始人：笛卡儿 René Descartes（1596 – 1650） 读一切好书，就是和许多高尚 的人谈话. 愈学习，愈发现自己的无知. 我思故我在. 课堂小结： 2、请大家课后阅读课本 P28《解析几何的诞生》，认识一下解析几何的创始人———笛卡尔和费马. 在欧氏几何中需要精心巧妙、复杂的作图，而且只能通过近似的测量才能求出长度，而笛卡尔的代数方程却非常简单，而且给出的答案能达到任何要求所需要的精度. 笛卡尔关于方程和曲线相联系的思想，不仅仅只是打开了一个新的曲线世界；它还带来了认识新空间的需要，因为方程可以将我们带入三维空间甚至是四维空间，尽管没有任何人可以观察到四维结构，但是却可以依靠思想，用方程来讨论四维结构. 科学技术的发展推动数学的发展和创新，而数学的发展也必将促进科学的进一步发展。 ... ...
