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课件网) 双曲线与它的标准方程 （一）双曲线的定义 （二）双曲线的标准方程 （三）应用 （四）小结 （五）作业 （一）双曲线的定义 平面上到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a（2a2c(即a>c)时，动点M的轨迹不存在 ［双曲线方程的推导］ (1)以线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 则F1(-c,0),F2(c,0) (2)设M(x,y)是双曲线上的任意一点 (3)则/ /MF1/ － /MF2/ /= 2a 即/MF1/ － /MF2/ =± 2a (4)化简整理得：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2) ∵c＞a＞0 ∴c2－a2＞0 令b2＝c2－a2(b＞0) (5)证(略) （二）双曲线的标准方程 （２）焦点在y轴上： （１）焦点在x轴上： [比较] 双曲线的标准方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 (a>b>0) (a>b>0) (a>0,b>0) (a>0,b>0) （二）双曲线的性质(1) 对称性 顶点 焦点 渐进线 （三）应用 1、例题 2、课堂练习 已知：双曲线的焦距为６，双曲线上的点到 两个焦点的距离之差的绝对值为４。 求： 双曲线的标准方程及焦点的坐标 ∵2c=6 ∴c=3 ∵2a=4 ∴a=2 ∴b2=c2－a2=9－4=5 解： ∴(1)若焦点在x轴上,双曲线的标准方程为 (2)若焦点在y轴上,双曲线的标准方程为 焦点的坐标为：(-3,0),(3,0) 焦点的坐标为：(0,-3),(0,3) 设F1(-3,0),F2(3,0),动点M到F1的距离减去M到F2的距离之差为常数4，写出动点M的轨迹方程 解： ∵ /MF1/ － /MF2/ ＝4 （动点M的轨迹是双曲线的右支） ∴2a=4 ∴a=2 又∵F1(-3,0),F2(3,0) ∴c=3 ∴b2=c2－a2=32－22=5 已知：双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上， 焦距为10，且经过点P(0,4) 求： 双曲线的方程。 解： ∵2c=10 ∴c=5 ∴c2=25 ∴b2=c2－a2=25－a2 ∴(1)若焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为： 将P(0,4)代入得： (2)若焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为： ∴a2=41(舍) 将P(0,4)代入得： ∴a2=16 ∴所求的双曲线方程为： ∴b2=9 已知：双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上， 焦距为10，且经过点P(0,4) 求： 双曲线的方程。 P 解：(方法2) 又∵由题意知:双曲线的焦点在y轴上,且a=4 ∵2c=10 ∴c=5 ∴b2=c2－a2=25－16=9 （四）小结 (三)利用待定系数法求双曲线的标准方程１、要考虑焦点的位置 ２、要注意c2=a2+b2，a2
