第14讲-导数在研究函数中的应用-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第14讲-导数在研究函数中的应用 1、 考情分析 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间； 2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 2、 知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 INCLUDEPICTURE "../第13讲-导数的概念及运算-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/LA2.TIF" \ MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../第13讲-导数的概念及运算-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/LA2.TIF" \ MERGEFORMAT 形如山峰 INCLUDEPICTURE "../第13讲-导数的概念及运算-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/LA3.TIF" \ MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../第13讲-导数的概念及运算-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/LA3.TIF" \ MERGEFORMAT 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 3、 经典例题 考点一　求函数的单调区间 【例1】 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值. (1)确定a的值； (2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间. 解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x， 因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0， 即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝. (2)由(1)得g(x)＝ex， 故g′(x)＝x(x＋1)(x＋4)ex. 令g′(x)<0，即x(x＋1)(x＋4)<0， 解得－10，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 考点二　讨论函数的单调性 【例2】（2020·青海省高三一模）设函数 （1）讨论的单调性； （2）若有最大值-ln2，求m+n的最小值. 【解析】（1）函数定义域为， 当时，，∴在上单调递增； 当时，得， ∴在上单调递增；在上单调递减. (2)由（1）知，当时，在上单调递增；在上单调递减. ∴ ∴， ∴ 令 则 ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴. 规律方法　1.(1)研究含参数 ... ...