中小学教育资源及组卷应用平台 第11讲-函数与方程 1、 考情分析 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系； 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 2、 知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 [微点提醒] 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3、 经典例题 考点一 函数零点所在区间的判定 【例1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) (2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是_____. 【解析】 (1)因为y＝ln x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数， 所以f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数， 又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0， 根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内. (2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示. 因为f(1)＝1－＝－1<0， f(2)＝8－＝7>0， 所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2). 规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点二 确定函数零点的个数 【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【解析】 (1)法一 由f(x)＝0得或 解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点. 法二 函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点. 图1 (2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2). 图2 由于两函数图象有2个交点. 所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点. 规律方法 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 考点三 函数零点的应用 【例3】 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，1) C.(－1，0) D.[－1，0) (2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞) ... ...
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