第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、 考情分析 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义； 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 2、 知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ). [微点提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). 2.cos2α＝，sin2α＝. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 3、 经典例题 考点一　三角函数式的化简 【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝_____. (2)化简：(0<α<π)＝_____. 【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ). (2)原式＝ ＝＝. 因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α. 规律方法　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 考点二　三角函数式的求值　 INCLUDEPICTURE "../第18讲-同角函数基本关系与诱导公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/箭头.TIF" \ MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../第18讲-同角函数基本关系与诱导公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/箭头.TIF" \ MERGEFORMAT 多维探究 角度1　给角(值)求值 【例2－1】 (1)计算：＝_____. 【解析】　＝＝＝＝. (2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. ①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值. 【解析】　①因为tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. ②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 角度2　给值求角 【例2－2】 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，则β＝_____. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为_____. 【解析】　(1)由cos α＝，0<α<， 得sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<，又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. ∵β∈，∴β＝. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<， 又∵tan 2α＝＝＝>0， ∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－. 规律方法　1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转 ... ...