中小学教育资源及组卷应用平台 专题二：圆锥曲线最值（范围）问题 圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。 关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；利用基本不等式或函数最值问题解决。 专题目录： 第1讲、利用定义法和几何关系求最值 第2讲、利用均值不等式或函数最值求最值(范围) 第3讲、其他类型 第3讲、其他类型 技巧方法：利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式等，建立不等式构建最值或范围。 例1、（2017新课标1卷12题）设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】 【解析】因为在上存在点，满足，所以. 当点位于短轴端点时，取得最大值. 1 当时，如图1所示，有，则， 所以，解得； 图1 图2 图3 1 当时，如图2示，有，则， 所以，解得. 综上可得，的取值范围是.故选A. 评注：先研究“椭圆，是长轴两端点，位于短轴端点时，最大”这一结论. 如图3所示，因为，所以. 设，因为（中点弦的一个结论）， （当且仅当，即时等号成立，此时位于短轴端点处）. 例2、．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，得， 即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴 建立直角坐标系，则，设， 由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为 ，边高的最大值为，∴. 例3．（2018衡水中学12题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题易知四边形为平行四边形，且不妨设双曲线的渐近线，， 设点，则直线的方程为，且点到的距离为， 由，解得，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又，∴，双曲线的方程为，∴，∴，， ∴，，∴， 即，又∵，，解得或 例4．直线与双曲线的渐近线交于，两点，设为双曲线上任意一点，若（，为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，联立直线，解得， ∴不妨设，，，∵，∴，， ∵为双曲线上的任意一点，∴，∴， ∴（时等号成立），可得，故选D. 例5．（2020年绵阳市南山中学高三二诊模拟12题）已知点是抛物线：准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂直为，由抛物线的定义可知, 因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程组 ，整理，由，解得， 此时直线的方程为， 由与抛物线方程联立，解得点， 此时双曲线的焦点坐标为，且过点 根据双曲线的定义可知， 所以，所以双曲线的离心率为 ，故选A。 例6．(2014年新课标16题)设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是 . 解析 解法一：依题意，若圆上存在点，使得， 如图所示.因为，所以， 因此，即， 得，故，解得.所以的取值范围是. 例7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和圆C′：x2＋y2＝b2，M是椭圆C上一动点，过M向圆作的两条切线MA，MB，切点为A，B.若存在点M使∠AMB＝，则椭圆C的离心率e的取 ... ...
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