圆锥曲线(选填题)压轴题破解系列专题（四）：圆锥曲线与面积长度综合问题（第2讲） (原版+解析版）)

中小学教育资源及组卷应用平台 专题三：圆锥曲线中的长度（面积）问题 圆锥曲线中关于长度面积的计算在解答题中基本上就是读懂题意后，基本上就是一个字算。但是在选填题中长度（面积）相关问题除了会算，还远远不够，它经常会涉及到其他的中学阶段所学到平面几何的基本知识，所以我们要很好的完成这个版块的内容就需要足够的的知识储备． 基本知识储备:弦长公式（包含一般的弦长公式和焦点弦公式）；距离公式（包含点与点，点与线，线与线的距离公式）；面积公式（包含特殊的三角形和一般的三角形面积公式）；中点坐标公式；平面向量相关知识；直线方程的相关知识（斜率（倾斜角）、垂直、平行等）；圆、圆锥曲线相关知识；初中的平面几何相关知识（如：相似；平行线分线段成比例；勾股定理；平行四边形等）。 本专题目录： 第1讲、计算长度（面积）问题 第2讲、长度（面积）的倍分关系问题 第3讲、复杂的长度（面积）问题 第2讲、长度（面积）的倍分关系问题 例1、（2020年成都七中高三三诊模拟11题）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点.若，则（ ）. （A） （B）3 （C） （D）8 解析 解法一：如图所示，设与轴的交点为.过点作的垂线，垂足为. 由题设，知，即. 由抛物线定义知，故， 又，所以，.故选C. 解法二：由题设知，设，. 由得，得或. 故或，计算得，因此.故选C. 解法三：由题设知，可设的方程为，则. 由，消得，解得或. 由题设得，即，则或， 解得，所以，则. 故选C. 例2、（2020年河北省5月联考12题）抛物线的焦点为，点在上且在准线上的投影为，直线交轴于点，以为圆心，为半径的圆与轴相交于，两点，为坐标原点．若，则圆的半径为（ ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设，则，，设准线与轴交于点 ，为的中点 为的中点，则 由得出，点为线段的中点，则 由抛物线的定义可知， ， 即， 即圆的半径为 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，中点坐标公式，两点间距离公式的应用，属于中上档题. 例3、抛物线的焦点为F，过抛物线上一点M作MN垂直于准线l，垂足为N，，，O为坐标原点，则_____；若过作直线与抛物线交于M，Q两点，，则_____. 【答案】2 【解析】由已知条件及抛物线的定义即可求出p的值，进而得到直线的方程，联立方程求得Q的坐标，再利用两点间的距离公式分别求出与，即可得的值. 设，准线l与x轴的交点为A，则. 又，所以，故或， 代入，可得，解得. 故，解得，故抛物线的方程为. 不妨设M在x轴上方，则，故直线的斜率， 故直线的方程为，联立方程，得，得， 解得或，故，则， ，所以. 故答案为：2 例4、设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】据题意，，且，解得，． 又，在中由余弦定理，得． 从而，所以，故选B． 例5、（2014新课标2改编）设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．若直线在轴上的截距为2，且，求= ．= ． 【答案】. 【解析】由题意，原点为的中点，∥轴， 所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即 ① 由得。 设，由题意知，则，即代入C的方程，得。② 将①及代入②得 解得，故. 例6、（2019年成都市第七中学高三热身考试16题）已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则_____． 【答案】 【解析】由知，由焦点弦性质， 而． 或者设直线方程转换为韦达定理解决也可以。 例7、已知，是椭圆的左，右焦点，过的直线与椭圆交于P，Q两点，若，且，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 设，则，， ， ，， ， .故选：D 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆焦点三角形面积的求解，属 ... ...