中小学教育资源及组卷应用平台 专题11 分类讨论 一．考情分析 导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用分类讨论的思路，以飨读者. 二．经验分享 【函数与导数解题策略】： ①分离参数＋函数最值； ②直接化为最值＋分类讨论； ③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。 三、题型分析 例1.设函数，． 求函数的单调增区间； 【解析】 . 因为， 所以（）， ①当时，由，解得； ②当时，由，解得； ③当时，由，解得； ④当时，由，解得； ⑤当时，由，解得. 综上所述，当时，的增区间为； 当时，的增区间为；时，的增区间为. 【变式训练】已知函数.求函数的单调区间； 【解析】 .由于，． （ⅰ）当时，则，， 令，得（负根舍去）， 且当时，；当时，， 所以在上单调减，在上单调增.……4分 （ⅱ）当时， ①当时， , 令，得（舍）， 若，即, 则，所以在上单调增； 若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增. ②当时, , 令，得，记， 若，即, 则，故在上单调减； 若，即, 则由得，且， 当时，；当时，；当 时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. 综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间是； 当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是； 当时, 单调递减区间是(0, )和， 单调的递增区间是和. 例2：已知为正的常数，函数；[来源:Z,xx,k.Com]设，求函数在区间上的最小值； 【解析】：（1）由a=2，得f（x）=|2x﹣x2|+lnx（x＞0）．当0＜x＜2时，．由f′（x）=0，得﹣2x2+2x+1=0，解得，或（舍去）．当时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞）．当x＞2时，．由f′（x）=0，得2x2﹣2x+1=0．f（x）在（2，+∞）上为增函数．∴函数f（x）的单调增区间为（），（2，+∞）．（2）．①若a≤1，则．则．∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1﹣lnx≥0，x2+1﹣lnx≥0，∴g′（x）＞0．∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1﹣a．[来源:学|科|网Z|X|X|K]②a≥e，则g（x）=a﹣x+，则．令h（x）﹣x2+1﹣lnx，则．所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a﹣e+．③当1＜a＜e，，由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（a）=．综上得g（x）的最小值为g（a）= 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，考查了去绝对值的方法，正确的分类是解决该题的关键，属难题． 【变式训练】设函数． （1）当时，求证：为单调增函数； （2）当时，的最小值为4，求的值． 【解析】（1）当时，，所以， 所以为单调增函数． （2）． ①当时，在区间上是单调增函数，最小值为， 由，得（舍去）． ②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数，最小值为， 由，得或（舍去）． ③当时，在区间上是减函数，最小值为，由，得（舍） 综上所述，． 例3：已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x. （1）若函数f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数 ... ...
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