专题02 函数与导数之值域倍增 学案（原卷版+解析版）-2021届高三满分数学之函数与导数

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 值域倍增或倍减 一、考情分析 值域倍增或倍减是高考函数与导数一个新的考查导数的方向。在2019年全国卷2的选择题12题已经出现了，是以压轴题的形式出现的。考查学生对分段函数以及函数的周期性，结合图像去处理。数形结合思想是我们去处理这只能怪题型的一个必备手段。处理步骤分为：①审题，找出分段函数的部分图像，找到伪周期，值域倍增或倍减得范围；②结合函数，画出图像；③整理，分析，得出结论。 二、经验分享 1.函数的周期 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 【常用结论】 A、 ，函数的周期. B、，函数的周期. C、或，函数的周期. 2.函数的值域 （1）.函数的值域周期性倍增 若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍； （2）.函数的值域周期性倍减 若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍； （3）.函数的周期性 若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。 三、题型分析 (一) 函数值域倍减 例1.【2019全国Ⅱ，理，12】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，由解得或， 若对任意，都有，则． 故选B． 【变式训练1】已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　) 【答案】D 【解题秘籍】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性. 【变式训练2】已知函数是奇函数，则 . 【答案】-15 【解析】 【变式训练3】【2017河北五邑四模】已知函数，则_____． 【答案】 【解析】当时， ， 即，即此时函数是周期为4的周期函数， 则(二) 函数值域倍增 例2.【皖南八校高三摸底（2019.08）】设函数的定义域为，且满足，当时，，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【方法技巧梳理】倍域问题 定义在上的满足，即自变量增加一，函数值变为2倍. 根据时解析式画出函数草图. 由于时，函数 令，则. 由于时，1，故必满足. ①首先时，1 ②其次时，无最大值. ③而当时，最大值为2. 综上知：. 【变式训练1】【2018届河南天一大联考】 【变式训练2】若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使为R上的减函数，则，解得 【变式训练3】 【2017年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数是奇函数，则方程的根为（　　） A． B． C. ， D．， 【答案】B 网ZXXK] 【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B. 四、迁移应用 1.【2017湖南衡阳三次联考】设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】由分段函数的解析式可知： . 2．【2018湖北省襄阳市调研】已知函数，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是（ ） A. (1，2 017) B. (1，2 018) C. [2，2 018] D. (2，2 018) 【答案】D[来源:学科网] 3.【2017河北衡水中学一调】已知存在，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图所示， 因为存在当时，，所以， 因为在上的最小值为在上的最小值为， 所以，所以， 因为，所以， 令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线， 所以在区间上递增， 所以当时，，当时，，即的取值范围是， 故选A ... ...