中小学教育资源及组卷应用平台 专题04 函数与导数之零点问题 考情分析 零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性 质,达到化难为易,化繁为简的目的. 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 二．经验分享 1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法： (1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断． (2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题． (3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点． 2.导数研究函数图象交点及零点问题? 利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数； ②求导； ③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解. 探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解. 题型分析 确定函数的零点与方程根的个数问题 例1.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】 函数是定义在R上的偶函数，周期是4，当时，，则方程的根个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【变式训练1】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集上的函数,满足,当时,.则函数的零点个数为（ ） A． B． C. D． 【变式训练2】 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数满足,当时,,若在上,方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练3】已知函数有两个极值点，若 ，则关于的方程的不同实根个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练4】若，则函数的两个零点分别位于区间（ ） A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围 例2.已知关于的方程恰有两解，则实数的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 【变式训练1】【高2020届泸州高三第一次教学质量诊断性考试数学文科理科试题，12题】 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数的最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有三个零点，则实数k的取值范围（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】 【第12题】已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围（ ） A. B. C. D. 【变式训练3】 设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 根据函数零点满足条件解不等式或证明不等式 例3.已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值； （2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数极值点的个数． 【变式训练1】【2017浙江杭州地区重点中学期中】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】【2018届北京北京师大附中高中三年级期中】已知函数, . ... ...
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