第16章 三角形的“四心” 学案（原卷版+解析版）-突破满分数学之2020年暑期初升高衔接教材精品（初中+高一重难点突破）

中小学教育资源及组卷应用平台 第16章 三角形的“四心” 【知识衔接】 ———初中知识回顾——— 1、重心：三角形的三条中线交点． 2、外心：是三角形三边中垂线的交点． 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点． 4、垂心：是三角形三条高的交点． ———高中知识链接——— 1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部． 2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外． 3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内． 4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外． 【经典题型】 初中经典题型 例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1． 已知：D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，[ 求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1． 证明：连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且， ∽，且相似比为1：2， ． 设AD、CF交于点，同理可得， 则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成． 例2：已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：． 证明：作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点， 例3：已知：O为的重心和内心，求证：为等边三角形． 证明：如图， 连AO并延长交BC于D，O为三角形的内心，故AD平分， （角平分线性质定理） O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC． ，即． 同理可得，AB=BC． 为等边三角形． 例4：已知：中，AD与BE交于H点． 求证：． 高中经典题型 1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为　　　　，重心到垂心的距离为　　　　　． 【答案】6.5， 2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝　　　　　． 【答案】2 3、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos（∠OBC+∠OCB）= ． 【答案】 4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为　　　　． 【答案】72 5、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为　　　　　． A、 B、 C、 D、 【答案】A 【实战演练】 ———先作初中题 ——— 夯实基�——— A 组 1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ） A． 三条中线的交点 B． 三条高线交点 C． 三个内角平分线交点 D． 三边垂直平分线交点 【答案】C 【解析】试题解析：如图， ∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，∴O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选C． 2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____． 【答案】 【解析】分析：如图延长AG交BC于H．利用等腰三角形的三线合一，可知AH是高，利用勾股定理求出AH，根据重心的性质AG=AH计算即可． 详解：如图延长AG交BC于H． ∵G是重心，∴BH=CH=3． ∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=． 故答案为：． 3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为_____． 【答案】2 【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长． 详解：∵点G是△ABC重心，BC=6， ∴CD=BC=3，AG：AD=2：3， ∵GE∥BC， ∴△AEG∽△ADC， ∴GE：CD=AG：AD=2：3， ∴GE=2． 故答案为：2． 点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2： ... ...