中小学教育资源及组卷应用平台 第7章 二次函数的最值问题 【知识衔接】 ———初中知识回顾——— 二次函数的增减性 当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少． 二次函数的最值 一般二次函数求最值 根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。 ———高中知识链接——— 给定自变量取值范围求二次函数的最值 ①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 ②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 具体归纳如下： 1、一元二次函数 时， 2、一元二次函数在区间[m,n]上的最值。 1°当 ， 2°当， 3°当时， 4°时， 3、一元二次函数在区间[m,n]上的最值类比2可求得。 【经典题型】 初中经典题型 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3）．D是抛物线上一点，且在x轴上方．则△BCD的最大值为 ． 【答案】． 2．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是 ． 【答案】． 3．已知二次函数（b，c为常数）． （Ⅰ）当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值； （Ⅱ）当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式； （Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 【答案】（Ⅰ）二次函数取得最小值-4． （Ⅱ）或． （Ⅲ）或． （Ⅲ）当c=b2时，二次函数的解析式为，它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即＜b；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即＞b+3，根据列出的不等式求得b的取值范围，再根据x的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y的最小值为21可列方程求b的值（不合题意的舍去），求得b的值代入也就求得了函数的表达式． （Ⅲ）当c=b2时，二次函数的解析式为．它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线． ①若＜b时，即b＞0， 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，故当x=b时，为最小值．∴，解得，（舍去）． ②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0， 当x=时，为最小值． ∴，解得（舍去），（舍去）． 高中经典题型 1．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（ ） A．3．125 B．4 C．2 D．0 【答案】C． 2．已知函数，存在，使得，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 根据题意， ，由图象可知， ， ， ，故答案为． 3．已知函数，其中为常数． (1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x轴上方，即，解得实数的取值范围． 详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是 因此，解得 所以的取值范围是． (2)因为恒成立， 所以，整理得 解得 因此，的取值范围是． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ） A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3） 【答案】C． 【分析】连 ... ...
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