中小学教育资源及组卷应用平台 直线的交点与距离公式 一、知识讲解 一、两条直线的交点坐标 1．基础知识 几何元素及关系 代数表示 点M 直线l 不同时为0) 点M在直线l上 直线与的交点是M 方程组的解是_____ 2．两条直线的交点 已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的 _____. 3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 _____ _____ 无解 二、两点间的距离 1．两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为 .? 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离. 2．两点间距离公式的推导 已知平面上的任意两点，如何求点间的距离?? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为,,直线与相交于点Q.? 在中，,过点向x轴作垂线，垂足为;过点向轴作垂线，垂足为,所以,同理可得. 所以.学科 网 由此得到平面上任意两点间的距离公式为.? 三、点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 . 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 . 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为,R的坐标为;直线的方程为,S的坐标为, 于是有,, . 设,由三角形面积公式可得, 于是得. 因此，点到直线l:Ax+By+C=0的距离. 可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式也成立. 四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长. 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 . 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平行直线(其中A与B不同时为0，且). 在直线上任取一点,则点到的距离即为与之间的距离，则. ∵点在直线上，∴,即. ∴两条平行直线, (其中A与B不同时为0，且)之间的距离为. 五、坐标法（解析法） 1．坐标法的定义 通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法.学科@网 2．坐标法解决问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； （4）反演回去，得到几何问题的结论. 也可简记为： 六、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称. 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点 .特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 常见的点关于直线的对称点：? ①点关于x轴的对称点 ； ②点关于y轴的对称点 ； ③点关于直线y=x的对称点 ； ④点关于直线y=?x的对称点 ； ⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点； ⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点. 3．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相 ... ...
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