通用版 初中数学 第04天 二次根式 4.0二次根式（知识梳理） 导言 在初中，我们已经了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算． 高中阶段，我们学习函数、解析几何、数列等内容时，会遇到含根号的解析式，含根号的方程与不等式．因此要更多地了解根式的运算技巧，例如平方去根号，将根式换元，利用乘法公式化简，分子(母)有理化，等等． 4.0二次根式（知识梳理） 4.0二次根式（知识梳理） 4.0二次根式（知识梳理） 4.1二次根式（同类二次根式） 4.1二次根式（同类二次根式） 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似． 4.1二次根式（同类二次根式） 化简根式是将根号内的部分因式移到根号外．根据需要，有时将根号外的部分因式移到根号内． 当根号外的数是一个非负数时，直接把它平方后移到根号内， 当根号外的数是一个负数时，提出一个负号，再化成上一个问题， 4.1二次根式（同类二次根式） 4.1二次根式（同类二次根式） 4.1二次根式（同类二次根式） 4.2二次根式（重二次根式） 4.2二次根式（重二次根式） 4.2二次根式（重二次根式） 4.2二次根式（重二次根式） 4.3二次根式（分母有理化） 计算结果都不再含有根式． 两个含有根式的式子相乘，如果它们的乘积中不再含有根式，那么，这两个式子就叫做互为有理化根式． 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.3二次根式（分母有理化） 4.4二次根式（分子有理化） 4.4二次根式（分子有理化） 4.4二次根式（分子有理化） 4.4二次根式（分子有理化） 4.4二次根式（分子有理化） 4.4二次根式（分子有理化） 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 一般地，比较二次根式的大小主要有以下几种方法： 移因式于根号内的比较法； 平方比较法； 求差比较法； 求商比较法； 例数比较法； 分子有理化法 等等． 这些变形在高中函数性质的研究、不等式的证明、求导等方面将经常用到． 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 解（3）思路三： 平方再移项即可． 4.5二次根式（分子有理化在研究函数性质中的作用） 4.6二次根式（含根号的方程） 4.6二次根式（含根号的方程） 分析 化根式方程为有理方程；有产生增根的风险． 两边平方，得x 2+5x+1 = 4x2 – 4x +1， 即3x2 – 9x =0， 解之得， x1 = 0， x2 = 3， 把x1 = 0， x2 = 3代入原方程的两边检验， 4.6二次根式（含根号的方程） 分析 化根式方程为有理方程；有产生增根的风险． 4.6二次根式（含根号的方程） 4.6二次根式（含根号的方程） 4.6二次根式（含根号的方程） 4.6二次根式（含根号的方程） 提问 你认为（1）（2）问的答案是“对立”的吗？ 任何一个实数，要么是（1）的解，要么是（2）的解，对吗？ 解（1）两边平方，得x＋7＝(x－5)2， 整理后，得方程x2－11x＋18＝0． 解之得x1＝9，x2＝2． 把x＝9代入原方程两边，左边＝4，右边＝4， ∴x＝9是原方程的根． 把x＝2代入原方程两边，左边＝3，右边＝?3，两边的值不等， ∴x＝2是原方程的增根，舍去． ∴原方程的解是x＝9． 4.6二次根式（含根号的方程） 4. ... ...
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