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课件网) 根与系数关系 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 一、复习旧知: 求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3; ②-4和7; ③3和-8; ④-5和-2 x2-5x+6=0 x2-3x-28=0 ③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0 ④(x+5)(x+2)=0 ②(x+4)(x-7)=0 ①(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0 问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？ 二、预习检测： 三、新课讲解： 1.如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 ?x2=q 2.以 为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为: 填写下表： 猜想： 如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？ 方程 两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系 已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。 求证： 推导: 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 一元二次方程的 根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 1. 3. 2. 4. 5. 口答下列方程的两根之和与两根之积。 返回 四、例题讲解： 的值。 解： 根据根与系数的关系: 用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入. [2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( ) A．无实数根 B．两根之和为－2 C．两根之积为－1 D．有一根为－1＋ 中考连接： C 五、课堂小结： 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 六、布置作业： 1、预习下一节新课； 2、课本P16的练习及P17习题21.2第7题。 例1. 不解方程，求方程 的 两根的平方和、倒数和。（解法如上） 运用根与系数的关系解题类型 例如：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23 （3） 1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____。 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____， X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___ ( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___ 3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _____ 。 X1+X2 2X1X2 -3 4 1 14 12 × 2和-1 基础练习 （还有其他解法吗？） 例2： 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7 例3：已知方程 的两个实数根 是 且 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2 解得：k=4 或k=－2 例4：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知, △= { 即 { m>0 m-1<0 ∴0
