中小学教育资源及组卷应用平台 第十一讲 单调性与最大(小)值（一） 【学习目标】 l.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤 2.会用图像求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力 3.掌握简单的含参数函数的单调性及单调性解简单的抽象不等式 21世纪教育网 【知识要点】 l.函数的单调性的定义 增函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数. 简称为：步调一致增函数.21cnjy.com 几何意义：增函数的从左向右看, 图象是上升的。 减函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.21·cn·jy·com 几何意义：减函数的从左向右看, 图象是下降的. 2.单调性的证明方法 判断或证明在区间上的单调性应按以下步骤： （1）取数：在该区间内的任取两个数，且 （2）作差：将函数值与作差 （3）变形：将上述差式通过因式分解、通分、有理化等方法，化为几个因式的乘积或商 （4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断 （5）判断：对的单调性作出结论 其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止． 3.单调性的判断方法： （1）定义法：利用定义严格判断； （2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间； （3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性． 【精讲精练】 一．函数单调性的定义 例1问题①:分别作出函数，，，的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1所示: (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??) 图1 问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 问题③:如图2是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??) 图2 问题④:如何从解析式的角度说明在［0,+∞)上为增函数？ 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 归纳总结： 1.函数单调性的几何意义： 2.函数单调性的定义： 二．图像法判断函数单调性 例2 如图3是定义在区间［－5，5］上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？21世纪教育网版权所有 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??) 图3 三．定义法判断函数单调性 例3 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.2·1·c·n·j·y 变式 证明函数在上是减函数； 例4 已知函数都是R上的增函数，求证：是R上的增函数 变式 已知函数是R上的增函数，是R上的减函数，求证：是R上的增函数 四．简单的含参函数的单调性21世纪教育网 例5 已知函数在区间上是减函数，求的取值范围． 21世纪教育网 变式1 函数在上y随着x的增大而增大，则当时，求对应的函数值的取值范围. 五．利用单调性解抽象不等式 例6 已知函数是减函数，则与的大小关系是 变式 已知函数是减函数，解不等式 21世纪教育网 【思维拓展】 1.已知是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则a的取值范围是_____. 21世纪教育网 【课外作业】 1．下列函数中，在区间上为增函数的是( ) A. B. C. D. 2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当时，f(x)为增函数，当时，函数f(x)为减函数，则m等于( )21教育网 A．－4 B．－8 C．8 D．无法确定 3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有( ) A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b) C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f( ... ...
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