中小学教育资源及组卷应用平台 突破3.1及3.2 一元二次不等式及其解法重难点突破 考情分析 二、经验分享 【知识点1 一元二次不等式的概念及形式】 (1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 【知识点2 一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 得不等式的解集 f(x)>0 {x|xx2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x10与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？ ②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 >0?f(x)g(x)>0，<0?f(x)·g(x)<0. ≥0? ?f(x)·g(x)>0或. ≤0??f(x)·g(x)<0或 【知识点4、简单的高次不等式的解法】 (1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x>2,11时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？ 高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 三、题型分析 (一) 一元二次不等式的解法 例1．（1）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( ) A. B. C．? D. （2）．不等式－x2－3x＋4>0的解集为_____．(用区间表示) （3）．x2－5x＋6>0； （4）．－x2＋3x－5>0. 【变式训练1】．求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）. (二) 含有参数的一元二次不等式的解法 例2．（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( ) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－20. 【变式训练1】．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】关于的不等式()的解集为,且,则 A． B． C． D． 【变式训练2】．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集. (三) 含有参数的分式不等式的解法 例3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式 ... ...
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