第27讲 平面向量的概念及线性运算-2021年新高考数学一轮专题复习 教案（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第27讲-平面向量的概念及线性运算 考情分析 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示和基本要素； 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 知识梳理 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a， 零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0 单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝ 共线(平行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b平行记作a∥b 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a 相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 INCLUDEPICTURE "../第26讲-数列求和及数列的综合应用-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W139.TIF" \ MERGEFORMAT (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 INCLUDEPICTURE "../第26讲-数列求和及数列的综合应用-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W140.TIF" \ MERGEFORMAT a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. [微点提醒] 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 经典例题 考点一　平面向量的概念 【例1-1】 （2020·全国高二）如图所示，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与向量，方向不同， 与向量不相等， 而向量与方向相同，长度相等， ，故选D. 【例1-2】 （2020·山西省高三其他（理））平面向量，共线的充要条件是（ ） A． B．，两向量中至少有一个为零向量 C．?λ∈R， D．存在不全为零的实数λ1，λ2， 【答案】D 【解析】A：成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的； B：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的； C：只有当不是零向量时才成立，故本选项是错误的； D：当平面向量，共线时，存在一个λ，使得成立，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，； 当存在不全为零的实数λ1，λ2，成立时，若实数λ1，λ2不都为零时， 则有成立，显然，共线，若其中实数λ1，λ2有一个为零时，不妨设 ，则有，所以平面向量，共线，所以本选项是正确的. 【例1-3】 （2020·北京市第五十中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则∥ D．若，则与不是共线向量 【答案】C 【解析】解：选项中，向量不能比较大小，只有模可以比较大小，所以错误； 选项中，因为向量有方向，因而模的大小相等不能说明向量相等，所以错误； 选项中，两个向量相等，说明两向量方向相同，因此是平行向量，所以正确； 选项中，当两个向量为相反向量时，两个向量不相等，但可以是共线向量，所以错误. 【例1-4】 （2020·广州市天河外国语学校高三月考（理） ... ...