第30讲-复数 考情分析 1.通过方程的解，认识复数； 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义； 3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 知识梳理 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝ 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋biINCLUDEPICTURE"366A.TIF"复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝ ＝(c＋di≠0). [微点提醒] 1.i的乘方具有周期性 in＝(k∈Z). 2.复数的模与共轭复数的关系 z·＝|z|2＝||2. 3.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. 经典例题 考点一 复数的相关概念 【例1-1】（2020·江苏省马坝高中高二期中）为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】是纯虚数， ，即，故选C． 【例1-2】（2020·广东省高三二模（文））已知复数，i为虚数单位，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 【例1-3】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知复数，（为虚数单位），若是纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】是纯虚数， 所以且，可得 【例1-4】（多选题）（2020·山东省高三开学考试）已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A．若复数，则． B．复数满足，在复平面内对应的点为，则． C．若复数，满足，则． D．复数的虚部是3． 【答案】ABC 【解析】由，故A正确； 由在复平面内对应的点为，则，即， 则，故B正确； 设复数，则，所以，故C正确； 复数的虚部是-3，故D不正确. 【例1-5】（2020·上海高三专题练习）已知复数.当实数为何值时，复数为 (1)实数；(2)纯虚数；(3)零. 【解析】(1)为实数的充要条件是的虚部为0，即 ，解得或， 所以当或时，为实数. (2)为纯虚数的充要条件是的虚部不为0，而实部为0，即 ，解得， 所以当时，为纯虚数. (3)为零的充要条件是的实部与虚部同时为零，即 ，解得， 所以当时，. 规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 考点二 复数的几何意义 【例2-1】（2020·江西省江西师大附中高三三模（理））若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（ ） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【解析】∵ 又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内， ∴，得﹣1＜a＜1． ∴实数a的值可以是0． 【例2-2】（2020·山西省高三其他（文））设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（ ） ... ...
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