中小学教育资源及组卷应用平台 第二节 基本不等式 一、电子版教材 二、教材解读 知识点一 利用基本不等式比较大小 1.重要不等式 ?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2.基本不等式 当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 例题1（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有_____个． 【答案】 【解析】，则，，. ，（1）中的不等式正确； ，则，（3）中的不等式错误； ，（2）中的不等式错误； ，则，由基本不等式可得，（4）中的不等式正确. 例题2（2020·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：． 【解析】∵，∵由均值不等式得，． 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立． 例题3（2020·全国高一课时练习）已知，求证：，并推导出等号成立的条件． 【解析】因为，所以．根据均值不等式，得，即． 当且仅当，即时，等号成立．因为，所以等号成立的条件是． 知识点二 利用基本不等式证明不等式 当a，b是任意正实数时，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 例题1（2020·上海高三专题练习）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8． 【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数， ∴（1）（1）（1）8． ∴（1）（1）（1）＞8 例题2（2020·河南省高三三模（文））已知a＞0，b＞0，a+b＝3． （1）求的最小值； （2）证明： 【解析】（1），，且， ，当且仅当即时等号成立， 的最小值为. （2）因为a＞0，b＞0，所以要证，需证， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 例题3（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文））已知，均为正数，且.证明： （1）； （2）. 【解析】（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号， ∴. （2）. 当且仅当时取等号. 知识点三 利用基本不等式求最值 1.已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 例题1（2020·上海高三专题练习）已知正数x，y满足，求的最小值. 【解析】由题意：， 则，当且仅当时，取得等号， 即时，取得等号，此时，，即时，取得最小值. 故的最小值为：. 例题2（2020·上海高三专题练习）已知x，，且恒成立，求k的最大值． 【解析】由题意得．，． ，， ．．∴．当且仅当时，k的最大值为 例题3（2020·全国高一）某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米 （2）设总造价为元，则： 化简得： 因为，当且仅当，即时取等号 即当米时，最低造价是元 素养聚焦 1．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）已知，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是. 2．（2018·海南省海口一中高二期中）已知，若的值最小，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 等号成立当且仅当， 3．（2020·重庆市育才中学高一期末）已知，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立． 4．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数满足，则的最小值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．2 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6， ... ...
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