中小学教育资源及组卷应用平台 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式 一、电子版教材 二、教材解读 知识点一 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 不等式解集 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ? ? 例题1（2020·上海高一课时练习）求下列不等式的解集： （1）； （2）． 【解析】 （1）原不等式可化为． ，方程的解是，． 所以原不等式的解集是或． （2）原不等式变形为． ，方程无解． 所以原不等式的解集是． 例题2（2019·阜阳市大田中学高二期中（文））已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式. 【解析】（1）时，不等式化为， 解得或， 不等式的解集为. （2）关于x的不等式，即； 当时，不等式化为，不等式无解； 当时，解不等式，得； 当时，解不等式，得； 综上所述，时，不等式无解， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 知识点二 三个“二次”的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。 例题1（2020·全国高一）已知方程的两根为与，求下列各式的值： （1）；（2）． 【解析】由方程得． （1）； （2）． 例题2（2020·上海高二课时练习）设方程的两实根为，，且，求实数的值 【解析】由题意，方程的两根为， 则,解得，且， 因为，则，即， 所以，解得或. 因为，故. 例题3（2020·全国高一）已知关于x的方程． （1）求证：对于任意实数m方程总有实数根； （2）若是原方程的两根，且，求m的值． 【解析】（1）证明：当时，方程化为，即，方程有一个实根； 当时，，方程有两个实根． 综上，对于任意实数m方程总有实数根． （2）∵是方程的两根， ∴． 又∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或． 知识点三 分式不等式的解法 分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 例题1（2020·全国高一课时练习）解下列关于x的不等式： （1）.（2）. 【解析】（1）.当时，不等式的解集为，或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集. （2）原不等式可化为，且， ∴，或. ∴原不等式的解集是或. 例题2（2020·广东省华南师大附中高一期中）求不等式的解集. 【解析】因为 ∴或 故原不等式的解集为. 例题3（2020·上海高一课时练习）记不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B． （1）求A； （2）若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 解得或， 所以， （2）因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以 因为， 所以或， 解得或. 素养聚焦 1．（2020·江苏省高一期末）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·吉林省实验高一期中）不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 3．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 4．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 6．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．（2020·元氏县第四中学高一月考）一元二次不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若不等式的解集为，则等于（ ） A．-18 B．8 C．-13 D．1 10．（2020·全国高三（文））不等式的解 ... ...
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