半角公式 【学习目标】 1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程． 2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明． 【学习重难点】 掌握半角的正弦、余弦和正切公式. 【学习过程】 一、初试身手 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( ) A． B．－ C． D．－ 2．下列各式与tan α相等的是( ) A． B． C． D． 3．设α∈(π，2π)，则等于_____． 二、合作探究 1．化简问题 【例1】 已知π<α<，求＋ 的值． [思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化筒． [解] 原式＝＋ ∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0. ∴原式＝＋ ＝－＋＝－cos . 2．求值问题 【例2】 已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin ，cos ，tan 的值． [思路探究] ―→ ―→―→求 [解] 由<θ<3π，且|cos θ|＝可知， cos θ＝－，∈. 由sin2＝＝＝得， sin ＝－＝－. 由cos2＝＝＝得， cos ＝－. ∴tan ＝＝＝2． 3．三角恒等式的证明 【例3】 （1）求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2； （2）求证：＝. [思路探究] （1）可由左向右证：先把左边cos2 θ降幂化为同角后整理可证． （2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化． [解] （1）左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边． 所以原等式成立． （2）左边＝ ＝＝＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 【学习小结】 半角公式 sin＝±，cos＝±， tan＝±＝＝. 【精炼反馈】 1．已知cos α＝，α∈，则sin 等于( ) A． B．－ C． D． A [由题知∈， ∴sin >0，sin ＝＝.] 2．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值等于( ) A． B．－ C．－ D． C [由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.] 3．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为_____． π [∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.] 4．求证：＝. [证明] 原式可变形为 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)， ① ①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin 2θcos 2θ) ＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos2θ＋sin2θ) ＝2sin 2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边． ∴①式成立，即原式得证． ＝.(
课件网) 半角公式 自 主 预 习 探 新 知 合 作 探 究 提 素 养 类型一：化简问题 类型二：求值问题 当 堂 达 标 固 双 基 谢 谢 答案 解析答案半角公式 【教学目标】 1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程． 2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明． 【教学重难点】 掌握半角的正弦、余弦和正切公式. 【教学过程】 一、直接导入 前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及它们的一些应用，初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要性.这里我们将继续学习前面所学公式的应用. 二、新知探究 1．化简问题 【例1】已知π<α<，求＋ 的值． [思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化筒． [解] 原式＝＋ ∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0. ∴原式＝＋ ＝－＋＝－cos . 【教师小结】要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2sin2，1－cos α＝2cos2，1±sin α＝等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路． 2．求值问题 【例2】已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin ，cos ，tan 的值． [思路探究] ―→ ―→―→求 [解] 由<θ<3π，且|cos θ|＝可知， cos θ＝－，∈. 由sin2＝＝＝得， sin ... ...
