1.1.1 空间向量及其运算 核心素养 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法.(数学抽象) 2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.(数学运算) 3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.(逻辑推理) 4.理解空间向量夹角的概念,并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.(数学抽象) 5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.(逻辑推理) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车,上面装满了好吃的东西,于是就想把车子从路上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲,使出了平生的力气一起拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也动不了.原来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后倒拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.同学们,你们知道这样拉车,车子为什么不动吗? 激趣诱思 知识点拨 1.空间向量的概念 空间向量 空间中既有大小,又有方向的量 零向量、单位向量 始点和终点相同的向量称为零向量,记为0.模等于1的向量称为单位向量,一般记为e 向量的模(或长度) 表示向量a的有向线段的长度,记作|a| 相等向量 大小相等、方向相同的向量 平行向量(或共线向量) 方向相同或者相反的两个非零向量 共面向量 空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.( ) (2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( ) (3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ 微练习 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量AD相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:C 激趣诱思 知识点拨 2.空间向量的线性运算及其运算律 (3)数乘:λa, ①当λ≠0,a≠0时, |λa|=|λ||a|,而且λa的方向: 当λ>0时,λa与a方向相同; 当λ<0时,λa与a方向相反; ②当λ=0或a=0时,λa=0. 激趣诱思 知识点拨 (4)线性运算律 ①加法交换律:a+b=b+a; ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); ③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb. 名师点析 空间向量的线性运算中,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法满足三角形法则. (2)以向量a,b对应的有向线段为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度. (3)三个不共面的向量和,等于以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量. 激趣诱思 知识点拨 微判断 空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.( ) 答案:√ 微练习1 A.a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c 答案:C 激趣诱思 知识点拨 微练习2 微思考 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量有什么特点? 提示:和向量为0. 激趣诱思 知识点拨 3.空间向量的夹角 激趣诱思 知识点拨 微判断 答案:× 微思考 两个非零向量共线时,其夹角分别是多少? 提示:两个非零向量共线且同向时,
=0;两个非零向量共线且反向时,=π. 激趣诱思 知识点拨 4.空间向量的数量积 (1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积(也称为内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cos. (2)规定零向量与任意向量的数量积为0. 微判断 若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.( ) 答案:√ 微思考 两个向量的数量积与数乘向量有何不同? 提示:两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积,其结果是实数;数乘向量是一个数与一个向量的乘积,其结果仍是一个向量,如0·a=0,而0·a=0. 激趣诱思 知识点拨 5.空间向量的数量积的性质 (1)a⊥b?a·b=0; (2)a·a=|a|2=a2; (3)|a·b|≤|a||b|; (4)(λa)·b=λ(a·b); (5)a·b=b·a(交换律); (6)(a+b)·c=a·c ... ... 
