2.1.1 锐角三角函数（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第二章 直角三角形的边角关系 2.1 锐角三角函数 第1课时 知识梳理 知识点1 正切的定义 定义:如图所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的_____与_____的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝_____。 若图中，AC＝6，BC＝4，则tanA＝_____ ，tanB＝_____。 说明：（1）正切是在直角三角形中定义的，它实质上是两线段长度的比，即某角的正切只是一个数值，其大小只与这个角的大小有关.（2）tanA是一个完整的符号，不能写成tan·A.（3）由于直角三角形的各边都为正数，所以tanA＞0. 知识点2 梯子的倾斜程度与tanA的关系 判断梯子的倾斜程度，可以计算∠A的正切值。tanA值越大，梯子越_____。 如图所示是甲、乙两个自动扶梯，由图中的数据可知甲扶梯中tana＝_____，乙扶梯中tanβ＝_____，因为tana_____tanβ，所以_____扶梯陡。 知识点3 坡度与坡角 斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的_____与_____的比叫做坡度（或坡比）。 坡面与水平面的夹角叫做_____。坡度是坡角的_____。 如图所示，山坡在水平方向每前进100m，高度就升高25m，那么山坡的坡度tanA＝_____。 说明：坡度表示的是斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角越大，坡面越陡。习惯上坡度用字母i表示。 考点突破 考点① 求锐角的正切值 典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， AB＝10，AC＝8. （1）求tanA的值； （2）设∠BCD＝∠a，求tana的值。 思路导析:（1）先根据勾股定理求出BC的长，再根据正切的定义求出tanA的值.（2）由∠a＝∠A，可得 tana＝tanA. 解:（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6. ∴tanA＝； （2）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠a＝90°。 ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠A＋∠ACD＝90° ∴∠a＝∠A.∴tana＝tanA＝. 友情提示（1）求一个锐角的正切值就是求锐角所在的直角三角形的对边与邻边的比.（2）注意利用图形中的等角转化思想来求解。 变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，求tanA. 变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出∠A，∠B的正切值。 （1）已知a＝3，b＝6； （2）已知a＝4，c＝5； 通过上述计算，你发现什么规律？ 典例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB＝2，BC＝2. （1）求tanB的值； （2）求tan的值。 思路导析:（1）求∠B的正切值，需把∠B放在直角三角形中，故过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形.（2）由（1）可知∠BAD＝∠BAC，故tan＝tan∠BAD. 解:（1）如图所示，过点A作AD⊥BC于点D。 ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝. ∴AD＝＝＝1. ∴在Rt△ABD中，tanB＝; （2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC. 在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝.即tan＝. 友情提示（1）在求正切的锐角不在直角三角形中时，需通过作垂线构造直角三角形，使这个锐角成为直角三角形的一个内角（2）tan≠tanA. 变式3 如图所示，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ） B. C. 2 D. 变式4 等腰三角形的一条腰长为13 cm，底边长为10 cm，求底角的正切值。 典例3 如图所示，在△ABC中，AB：AC：BC＝2：：1，求最小锐角的正切值。 思路导析: 通过勾股定理逆定理，可判断出△ABC为直角三角形，由BC与AC之间的比值，可求出∠A的正切值。 解:∵在△ABC中，AB:AC:BC＝2:3:1，∴可设AB＝2a，AC＝3a，BC＝a. ∵AC2＋BC2＝（3a）2＋a2＝4a2＝AB2，∴∠C＝90°，且∠A为最小锐角. ∴tanA＝＝＝。 友情提示 如果知道直角三角形的两边关系求锐角的正切值，可通过设辅助未知数的方法表示出各边。 变式5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是（ ） B. 2 C. D. 变式6 如图所示，已知四边形ABCD为正方形，如果 ... ...