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课件网) 第十六章 轴对称和中心对称 16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理及尺规作图 1 线段垂直平分线性质定理的逆定理 2 用尺规作线段的垂直平分线 CONTENTS 1 新知导入 画一画：画出下列三角形长边上的高. CONTENTS 2 课程讲授 线段垂直平分线性质定理的逆定理 问题1 我们知道，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ P A B 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 线段垂直平分线性质定理的逆定理 问题2 运用所学知识，证明你的猜想. P A B 已知：如图，P为线段AB外一点，且PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 线段垂直平分线性质定理的逆定理 P A B 证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长. O 在△POA和△POB中, ∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB， ∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质定理的逆定理 归纳： 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端_____的点，在这条线段的垂直平分线上． 距离相等 线段垂直平分线性质定理的逆定理 例 已知:如图,在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. A B P C D E 证明:如图,连接PA,PB,PC. ∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线(已知)， ∴PA=PB=PC(线段垂直平分线的性质定理)， ∴点P在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性 质定理的逆定理). 线段垂直平分线性质定理的逆定理 练一练： 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( ) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确 A 用尺规作线段的垂直平分线 例 如图，已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. A B 提示：由线段垂直平分线性质定理的逆定理，只要作出到这条线段端点距离相等的两点，连接这两个点，即得所求作的直线. ? 用尺规作线段的垂直平分线 A B C D 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D. （2）连接CD.直线 CD即为所求. 归纳：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 练一练：如图所示的尺规作图是作( ) A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆 C.角的平分线 D.一个角等于已知角 用尺规作线段的垂直平分线 A 用尺规作线段的垂直平分线 例 如图,已知直线AB及AB外一点P. 求作:经过点P，且垂直于AB的直线. A B P 提示：在直线AB上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接PQ，直线PQ即为所求. ? 用尺规作线段的垂直平分线 作法： （1）以点P为圆心,适当长为半径画 弧,交直线AB于点C,D. （2）分别以点C,D为圆心,适当长为 半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧 相交于点Q. （3）连接PQ.直线PQ即为所求. A B P C D Q 用尺规作线段的垂直平分线 归纳： 1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段 两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线. 2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的 位置关系:①点在直线外;②点在直线上,因此同学们在作图时要 掌握这两种方法的区别. CONTENTS 3 随堂练习 1.锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( ) A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 D 2.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE ... ...
