第三章圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A.(4,10) B.(7,10) C.(4,7) D.(4,+∞) 解析依题意有k-4>10-k>0,解得70,n>0), 则解得故选D. 答案D 3.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= ( ) A. B. C.3 D.5 解析因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D. 答案D 4.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为( ) A.10 B.12 C.16 D.20 解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|, 由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D. 答案D 5.(多选题)椭圆=1的焦距为4,则m的值可能是( ) A.12 B.10 C.6 D.4 解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2, 当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12; 当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4. 故m=4或12. 答案AD 6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a, ∴a=2c.设椭圆方程为=1(a>b>0),则解得a=2,c=,b2=6. 故椭圆的方程为=1. 答案A 7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为 .? 解析椭圆=1的焦点为(0,±4), 设椭圆方程为=1(a>b>0), 则有a2-b2=16, ① 再代入点(,-),得 =1,② 由①②解得a2=20,b2=4. 则所求椭圆方程为=1. 答案=1 8.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是 .(填轨迹的名称)? 解析由题知|PF1|+|PF2|=2a, 设椭圆方程为=1(其中a>b>0). 连接MO,当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|), 当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|), 所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆. 答案椭圆 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3); (2)经过两点(2,-),. 解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义知2a==12, 所以a=6. 又c=2,所以b==4. 所以椭圆的标准方程为=1. (方法2)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设其标准方程为=1(a>b>0). 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为=1. (2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为=1. 同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在. 综上,所求椭圆的标准方程为=1. (方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 将两点(2,-),代入, 得解得 所以所求椭圆的标准方程为=1. 能力提升练 1.F1是椭圆=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是( ) A.9- B.6- C.3+ D.6+ 解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2. ∵|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF1|=6-|PF2|, ∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2| =6+(|PA|-|PF2|). 根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P'时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-. 答案B 2.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.6 D.8 解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0), 设=3, =x0(x0+1)++x0+ =+x0+3(x0+2)2+2, 当x0=2 ... ...
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