第三章圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为( ) A.=1 B.=1(y<0) C.=1或=1 D.=1(y>0) 解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6, ∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支, ∴曲线方程为=1(y<0),故选B. 答案B 2.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3; ∴b2=c2-a2=16. ∴该双曲线的标准方程是=1.故选A. 答案A 3.已知双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=( ) A.9 B.3 C.16 D.4 解析∵双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9. ∵m>0,∴m=4,故选D. 答案D 4.(多选题)如果方程=1表示双曲线,则m的取值可能是( ) A.-4 B.-2 C.-1 D. 解析要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1. 由选项知AD符合. 答案AD 5. 如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a. 又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 答案B 6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上 解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4, 画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图, 设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切, ∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4, ∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上. 答案D 7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 .? 解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0), 则 解得A=-,B=-, 故双曲线的标准方程为=1. 答案=1 8.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为 .? 解析因为点P是双曲线左支上的点, 所以|PF2|-|PF1|=6, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0, 所以∠F1PF2=90°, 所以|PF1|·|PF2|=×32=16. 答案16 9.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线. 解当k<0时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的双曲线; 当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线; 当02时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的椭圆. 能力提升练 1.(多选题)关于x,y的方程=1,其中m2≠,方程对应的曲线可能是( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 解析若m2+2>3m2-2>0,解得-,则当x∈(-,-)∪()时,曲线是焦点在x轴上的椭圆,A正确; 若3m2-2>m2+2>0,解得m<-或m>,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,B正确; 若3m2-2<0,解得-0)过点,-,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,可得=1, 解得a=3,b=1,c=,a+c>3, 点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上, 则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C. 答案C 3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则 ... ...
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