第三章圆锥曲线的方程 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是( ) A.x+4=0 B.x-4=0 C.y2=8x D.y2=16x 解析依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,其方程为y2=16x. 答案D 2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为( ) A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 解析由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,∴p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B. 答案B 3.抛物线y=x2的准线方程是y=1,则a的值是( ) A. B.- C.4 D.-4 解析抛物线y=x2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-,又抛物线准线方程为y=1,得1=-,解得a=-4. 答案D 4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为( ) A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-2 解析抛物线y2=2px的焦点为F, 点M为抛物线上的点,且FM⊥x轴, ∴M; 又|OM|=,∴+p2=5, 解得p=2或p=-2(舍),=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A. 答案A 5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. B.3 C. D. 解析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得, ∴点P到准线x=-的距离d=|PF|, 易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部, 连接AF,交y2=2x于点P', 欲使所求距离之和最小,只需A,P',F共线, ∴其最小值为|AF|=. 答案A 6.已知F为抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( ) A. B.1 C. D. 解析抛物线的准线为l:x=-,过A,B作准线的垂线,垂足为E,G,AB的中点为M, 过M作准线的垂线,垂足为H,因为A,B是该抛物线上的两点,故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|, 所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3, 所以|MH|=,故M到y轴的距离为,故选C. 答案C 7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 .? 解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴. 答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0) 8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线=1的右焦点,则实数p的值为 .? 解析因为c2==16-m+m+20=36,所以p=12. 答案12 9.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2); (2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5. 解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-=-2,所以p=4, 所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y. (2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上, 所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x. 10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程. 解设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2. 故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1. ∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点, ∴c=1,即a2+b2=1. 故双曲线方程为=1. ∵点在双曲线上, ∴=1,解得a2=或a2=9(舍去). 同时b2=,故所求双曲线的方程为=1. 能力提升练 1.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是( ) A.开口向上,焦点为(0,2) B.开口向右,准线方程为x=- C.开口向右,焦点为 D.开口向上,准线方程为y=-2 解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2. 答案AD 2.(2020·浙江温州十校联合体高二期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P ... ...
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