第三章圆锥曲线的方程 习题课 椭圆的综合问题及应用 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知点M(,0),直线y=k(x+)与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析椭圆+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=, 所以椭圆的两个焦点为N(-,0),M(,0). 又因为直线y=k(x+)必经过定点N(-,0), 由椭圆的定义知△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=(|AN|+|AM|)+(|BN|+|BM|)=2a+2a=4a=8. 答案B 2.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,等于( ) A.0 B.1 C.2 D. 解析设P(x0,y0), 则依题意有·|F1F2|·|y0|=1, 而|F1F2|=2,所以y0=±. 故得x0=±. 取P,可得=0. 答案A 3.已知椭圆C:=1,直线l:x+my-m=0(m∈R),l与C的公共点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无法判断 解析因为直线:x+my-m=0恒过(0,1), 而将(0,1)代入椭圆方程得<1, 故此点在椭圆内部,所以直线与椭圆相交,故有两个交点. 答案C 4.(多选题)设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足∠APB=120°,则k的取值可能是( ) A. B.2 C.6 D.12 解析若C上存在点P满足∠APB=120°,则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°. 故分析长半轴与短半轴的关系即可. 当焦点在x轴时,若∠APB≥120°,则 ?0b>0), 由已知c=1,所以a2-b2=1. ① 因为点C在椭圆E上,所以=1. ② 由①②得,a2=4,b2=3. 故椭圆E的方程为=1. (2)设P(x0,y0),由=t, 得(-1-x0,-y0)·(1-x0,-y0)=t, 即=t+1. ③ 因为点P在椭圆E上,所以=1. ④ 由③得=t+1-,代入④,并整理得=4(t-2). ⑤ 由④知,0≤≤4, ⑥ 结合⑤⑥,解得2≤t≤3. 故实数t的取值范围为[2,3]. 9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值. 解(1)∵|PF1|+|PF2|=4, ∴2a=4,即a=2. ∵e=, ∴c=, ∴b2=a2-c2=2, 即椭圆方程为=1. (2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2), 将y=x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4nx+2n2-4=0, Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10, ∴x1+x2=-,x1x2=, ∴|AB|=,点O到直线AB的距离d=, ∴S△OAB=×|AB|×d=×(10-n2+n2)=, ∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号, ∴△OAB面积的最大值为. 能力提升练 1.(2020·广东中山高三质检)已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶 ... ...
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