第三章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分) 1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) C. D. 解析抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,即p=,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为. 答案C 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1或=1 D.=1 解析由题意,得解得 ∴椭圆的方程为=1或=1. 答案C 3.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 解析双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ,虚半轴长分别是cosθ和sinθ,半焦距都等于1,故选D. 答案D 4.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于( ) A. B. C. D. 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得=0.根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以,所以e=. 答案B 5.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为( ) A.1 B.0 C.-2 D.- 解析设P(x0,y0),则=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-x0-2+,由双曲线方程得=3(-1),故=4-x0-5(x0≥1),可得当x0=1时,有最小值-2,故选C. 答案C 6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2, 则e1·e2=, 所以,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0. 答案A 7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y),∵AQ的垂直平分线交CQ于点M,∴|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|, 依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点,且2a=5,c=1,∴b=,故椭圆方程为=1,即=1,故选D. 答案D 8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A. B. C. D.2 解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=. 双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=,a=, 设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy, 当点P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy, 当点P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy, 两式联立消去xy得4c2=+3a2, 即4c2=+3, 所以+3=4,又=e, 所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0, 解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=,即双曲线的离心率为. 答案A 二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分) 9.两数1,9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线=1的离心率可能是( ) A. B. C. D. 解析由题意得a=5,b=±3,当a=5,b=-3时e=, 当a=5,b=3时e=. 答案AB 10.若方程=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是( ) A.若t<1,则C为双曲线 B.若14,t-1<0,此时表示焦点在x轴上的双曲线,所以正确的; 对于B,当t=3时,此时方程x2+y2=2表示圆,所以不正确; 当方程=1表示焦点在y轴上椭圆,则满足解得3
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