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课件网) 数学北师大版 九年级 1.2 .1 矩形的性质与判定(第2课时) 1.动手试验，发现问题： 如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. （1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样 的变化？ （2）当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特 征？你得到了怎样的猜想？ α α α α α 一个平行四边形的活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 （1）随着∠α 的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 矩形判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形. A C B D 已知：□ ABCD中，AC=DB。 求证：□ ABCD是矩形 证明：在 □ ABCD中， AB=DC， AC=DB，BC=CB， ∴ △ABC≌△DCB(SSS) ∠ABC=∠DCB 又∵ AB∥DC ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=0.5×180°=90° ∴ □ ABCD是矩形 矩形判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形. 推理格式：在□ABCD中， ∵AC=BD， ∴□ABCD是矩形. 矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ 三个角是直角 因为四边形的内角和是360°，若有三个角是直角，则第四角也就是直角 矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 推理格式：在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 3.矩形判定方法小结： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （对角线相等又平分的四边形是矩形） （3）有三个角是直角的四边形是矩形. （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; X X X X 对还是错 你有什么方法检查你家的门框是不是矩形？ 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？说明理由. 方法二：①先检查两组对边是否相等， 判断它是否是一个平行四边形； ②再检查对角线是否相等， 判断它是否是一个矩形. 方法一：检查三个角是不是直角 方法三：①对角线是不是互相平分， ②对角线是不是相等 上述方法二和方法三 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， △ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2 ∴□ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° 练习： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD??????? ∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形) ∴∠GBC＋∠BCG=0.5 ∠ABC＋0.5∠BCD =0.5(∠ABC＋∠BCD)=0.5×180°=90° 2．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数； （2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形． 解析：（1）在等边△ABC中， ∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30?， 又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60?， ∴∠C ... ...
