课时分层作业(二十四) 幂函数 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有( ) A．①③ B．②④ C．⑤⑥ D．③⑥ C [幂函数y＝xn，只有当n>0时，其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．] 2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B [使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3．] 3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为( ) A． B．±2 C．2 D．－2 D [因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D．] 4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝( ) A．16 B．4 C． D． D [因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2?3α＝2， 所以f＝＝＝．] 5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为( ) A．(1,3) B．(2,3) C．(2,1) D．(0,3) B [∵幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)， ∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)， ∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．] 二、填空题 6．若幂函数y＝xeq \s\up12() (m，n∈N 且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是 ． ①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1． ③ [由题图知，函数y＝xeq \s\up12()为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③．] 7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 ． 1 [由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1， 解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．] 8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ． 2，，－，－2 [函数y＝x－2，y＝x2，y＝xeq \s\up12(－)，y＝xeq \s\up12()中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝xeq \s\up12()，y＝xeq \s\up12(－)，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，，－，－2．] 三、解答题 9．比较下列各组数的大小： (1)3eq \s\up12()和3．1eq \s\up12()； (2)8eq \s\up12(－)和(－9) eq \s\up12(－)； (3)eq \s\up12()，eq \s\up12()和eq \s\up12()． [解] (1)构造函数f(x)＝xeq \s\up12()，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1， ∴3eq \s\up12()<3.1eq \s\up12()． (2)构造f(x)＝xeq \s\up12(－)，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以(－9) eq \s\up12(－)＝9eq \s\up12(－)． ∵8<9，∴8eq \s\up12(－)>9eq \s\up12(－)，∴ 8eq \s\up12(－)>(－9) eq \s\up12(－)． (3)构造函数y＝xeq \s\up12()，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则eq \s\up12()＝eq \s\up12()>eq \s\up12()＝eq \s\up12()>0． 函数y＝xeq \s\up12()，此函数在R上是增函数， 则eq \s\up12()<0eq \s\up12()<0， 故eq \s\up12()
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