2.7 二次根式 (第1课时) 导入新知 某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？ 如何计算 ？ 1. 了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件. 2. 理解最简二次根式的定义并会识别. 素养目标 3. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 这些式子有什么共同特征？ 探究新知 知识点 1 二次根式的概念 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 提示：a可以是数，也可以是式. 探究新知 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 （1） ； （2）81； （3） ；（4） （5） （6） ；（7） 下列各式是二次根式吗? 是 是 是 是 是 巩固练习 （1） （2） （3） （4） （6） （5） （7） （8） （9） （10） 不是 不是 不是 不是 不是 变式训练 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， 所以x＞1. 探究新知 素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 （1） 解：因为被开方数需大于或等于零， 所以x+3≥0，即x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以x-1≠0，即x≠1. 所以x≥-3 且x≠1. 归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 探究新知 （2） x取何值时,下列二次根式有意义? 巩固练习 （1） （2） x≥1 x≤0 （3） （4） x为全体实数 x>0 （5） （6） x≥0 x≠0 x≥-1且x≠2 (7) （9） x>0 x为全体实数 (8) 变式训练 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 你发现了什么？ 探究新知 知识点 2 二次根式的运算法则 做一做 ＝ ， 6.480 ＝ ； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝ ． 6.480 0.9255 0.9255 你有何发现？ 探究新知 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）． 商的算术平方根等于算术平方根的商. 积的算术平方根等于算术平方根的积. 探究新知 归纳小结 化简: 解：(1) (2) (3) （1） ； （2） ；（3） . 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的积的算术平方根进行计算 例1 化简: 提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来. 巩固练习 （1） （2） （3） 解: （1） （2） （3） 变式训练 解: 探究新知 素养考点 2 利用二次根式的商的算术平方根进行计算 化简：（1） （2） （3） 例2 （1） （2） （3） 化简： （7） 巩固练习 解： 变式训练 （2） （3） （1） 特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 讨论 探究新知 知识点 3 最简二次根式的概念 右边一组数有哪些特点？ 最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数中不含分母； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 探究新知 条件总结 例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由． 解：(1)不是，因为被开方数中含有分母． (3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)． (4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22. (5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2 ... ...
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