课时分层作业(三) (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是( ) A．a B．b C．c D．a＋b C [由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.] 2．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( ) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．－a－b＋c D．－a＋b＋c D [由于＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c，故选D.] 3．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是( ) A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2－ C [若，，为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C.] 4．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为( ) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c B [＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.] 5．平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( ) A．5 B．6 C．4 D．8 A [在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中有，＝＋＋＝＋＋ 所以有||＝|＋＋|，于是有||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＋2||||·cos 60°＝25，所以||＝5.] 二、填空题 6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝_____.(用a，b，c表示) a＋b＋c [因为在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝(＋)＝＋＝a＋×(＋)＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.] 7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为_____． 4(a＋b)－(a－b)＋3(3c) [由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c) 则有 解得 则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．] 8．在四棱锥P?ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝_____. a－b＋c [因为BG＝2GD，所以＝. 又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b， 所以＝＋＝b＋(a＋c－2b) ＝a－b＋c.] 三、解答题 9.如图所示，正方体OABC?O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量，； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. [解] (1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. ＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a. (2)法一：连接OG，OH(图略)， 则＝＋＝－＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c) ＝(c－b)． 法二：连接O′C(图略)，则＝＝(－) ＝(c－b)． 10.如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. [解] 连接AN，则＝＋. 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 ＝＋＝a＋b， ＝－＝－(a＋b)， 又＝－＝b－c， 故＝＋＝－＝－ ＝b－(b－c)， 所以＝＋ ＝－(a＋b)＋b－(b－c) ＝(－a＋b＋c)． 11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( ) A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c ABD [对于A，因为2a ... ...
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