人教A版（2019）高中数学 选择性必修第一册 1.1.2　空间向量的数量积运算课件（65张PPT）+学案

(课件网) 1.会识别空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　空间向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. ∠AOB 2.范围： . 特别地，当〈a，b〉＝ 时，a⊥b. 0≤〈a，b〉≤π 思考　 当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？ 答案　当〈a，b〉＝0时，a与b同向； 当〈a，b〉＝π时，a与b反向. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝ . 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b?_____ ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律). ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). |a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 思考1　向量的数量积运算是否满足结合律？ 答案　不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的. 答案　不能，向量没有除法. 知识点三　 向量a的投影 1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉 ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)). 2.如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到 ，向量 称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a， 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 2.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) 3.对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　) 4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × × × √ 2 题型探究 PART TWO 一、数量积的计算 例1　如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： ＝cos 60°－cos 60°＝0. 反思感悟 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. 跟踪训练1　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2 ＝3＋0－2＝1. 2 ＝4－0＋0－2＝2. 二、利用数量积证明垂直问题 例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. 又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD， ∴A1O⊥平面GBD. 反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 所以AD2＋BD2＝AB2， 三、用数量积求解夹角和模 例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点. 延伸探究 2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角. 所以异面直线CA1与AB ... ...