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课件网) 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一 证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 . a＝λb p＝xa＋yb 思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题； 点线共面可以转化为向量共面问题. 知识点二 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝ . (2)若a，b是非零向量，则a⊥b? . a·b＝0 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？ 答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围. 知识点三 求距离(长度)问题 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × × × √ 2 题型探究 PART TWO 一、证明平行、共面问题 例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点. 求证：BF∥ED′. ∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′. 反思感悟 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. 跟踪训练1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1. 求证：A，E，C1，F四点共面. 所以A，E，C1，F四点共面. 二、求夹角、证明垂直问题 例2 如图所示，在三棱锥A－BCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点. (1)证明：AE⊥BC； 又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2， (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值. 反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝ ，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值. 三、求距离(长度)问题 例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC?α ，线段BD?β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝_____. 26 解析 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l， 在l上有两点A，B，线段AC?α，线段BD?β， AC⊥ l ，BD⊥ l ，AB＝6，BD＝24，AC＝8， ∴CD＝26. 反思感悟 求距离(长度)问题的思路 选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题. √ 3 随堂演练 PART THREE 1.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是 √ √ 因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1, 由上可知，BD满足要求. 1 2 3 4 5 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 √ 1 2 3 4 5 同理，C，D均为锐角. A.90° B.60° C.45° D.30° √ 1 2 3 4 5 解析 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB， 又AB⊥BC，AB＝BC＝2， 所以SC与AB所成角的大小为60° . 1 2 3 4 5 4.如图，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为_____. 1 2 3 4 5 7 ∴PC＝7. 5.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝ ，则cos〈a，b〉＝ _____. 1 2 3 4 5 1.知识清单： (1)空 ... ...
